Для решения задачи сначала определим, что у нас есть 6 мишеней, и игрок может метать не более 2 дротиков на каждую мишень. Вероятность попадания в одну мишень составляет 0,8. Мы хотим найти, во сколько раз вероятность события «игрок поразит ровно две мишени» больше вероятности события «игрок поразит ровно одну мишень».
Шаг 1: Определим все возможные случаи
Игрок может поразить 0, 1 или 2 мишени. Так как на каждую мишень можно метать 1-2 дротика, необходимо рассмотреть, как распределяются попадания по мишеням. Поскольку мы рассматриваем вероятности, воспользуемся формулой для нахождения вероятности:
[
P(X) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
]
где:
- (P(X)) — вероятность попадания;
- (n) — общее количество мишеней (в данном случае 6);
- (k) — количество мишеней, которые игрок поразит;
- (p) — вероятность попадания в одну мишень (0.8);
- (C(n, k)) — сочетания из (n) по (k) (число способов выбрать (k) мишеней из (n)).
Шаг 2: Находим вероятность поразить ровно две мишени
Чтобы поразить ровно 2 разные мишени, игроку нужно выбрать 2 мишени из 6. Количество способов выбрать 2 мишени из 6 обозначаем как (C(6, 2)). Для каждой из выбранных мишеней он должен попасть в неё, а в остальные (4) он не должен попасть. Таким образом, вероятность будет выражаться как:
[
P(\text{2 мишени}) = C(6, 2) \cdot (0.8)^2 \cdot (0.2)^4
]
Подсчитаем:
[
C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15
]
Теперь подставим значение в формулу:
[
P(\text{2 мишени}) = 15 \cdot (0.8)^2 \cdot (0.2)^4 = 15 \cdot 0.64 \cdot 0.0016 = 0.1536
]
Шаг 3: Находим вероятность поразить ровно одну мишень
Для того чтобы попасть ровно в одну мишень, нужно выбрать 1 мишень из 6. Игрок должен попасть в неё, а в остальные 5 он не должен попасть. Тогда:
[
P(\text{1 мишень}) = C(6, 1) \cdot (0.8)^1 \cdot (0.2)^5
]
Считаем (C(6, 1)):
[
C(6, 1) = 6
]
Теперь подставим значение:
[
P(\text{1 мишень}) = 6 \cdot (0.8)^1 \cdot (0.2)^5 = 6 \cdot 0.8 \cdot 0.00032 = 0.001536
]
Шаг 4: Сравниваем вероятности
Теперь мы получили:
- (P(\text{2 мишени}) = 0.1536)
- (P(\text{1 мишень}) = 0.001536)
Теперь находим, во сколько раз вероятность события «поразить ровно две мишени» больше вероятности события «поразить ровно одну мишень»:
[
\frac{P(\text{2 мишени})}{P(\text{1 мишень})} = \frac{0.1536}{0.001536} = 100
]
Ответ
Вероятность события «игрок поразит ровно две мишени» в 100 раз больше вероятности события «игрок поразит ровно одну мишень».
