Введите границы интервалов, на которых выражение -4 (x² - 25) (x² + 2x) принимает положительные значения.

Чтобы определить границы интервалов, на которых данное выражение принимает положительные значения, начнем с анализа самого выражения:

\[ -4 (x^2 - 25)(x^2 + 2x) \]

1. Приведем выражение к более простому виду.

   Начнем с разложения каждого множителя на множители:

   • Первый множитель \(x^2 - 25\) является разностью квадратов и раскладывается так: \[ x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5) \]

   • Второй множитель \(x^2 + 2x\) можно вынести \(x\): \[ x^2 + 2x = x(x + 2) \]

   Теперь подставим это обратно в исходное выражение: \[ -4 ( (x - 5)(x + 5) )( x(x + 2) ) \]

2. Определим, для каких значений \(x\) само выражение \( (x - 5)(x + 5)(x)(x + 2) \) является отрицательным, так как мы объектем с отрицательным коэффициентом (-4).

3. Найдём корни множителей:

   • \(x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\)
   • \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\)
   • \(x = 0 \Rightarrow x = 0\)
   • \(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\)

   Таким образом, корни—это \(x = -5\), \(x = -2\), \(x = 0\), и \(x = 5\).

4. Наносим корни на числовую прямую, чтобы определить интервалы:

   • \( (-\infty, -5) \)
   • \( (-5, -2) \)
   • \( (-2, 0) \)
   • \( (0, 5) \)
   • \( (5, +\infty) \)

5. Определим знак выражения в каждом из этих интервалов. Для этого выберем по одному тестовому значению из каждого интервала:

   • Для \(x < -5\) (например, \(x = -6\)): \[ ( -6 - 5 )( -6 + 5 )( -6 )( -6 + 2 ) = (-)(-)(-)(-) > 0 \]
   • Для \(-5 < x < -2\) (например, \(x = -4\)): \[ ( -4 - 5 )( -4 + 5 )( -4 )( -4 + 2 ) = (-)(+)(-)(-) < 0 \]
   • Для \(-2 < x < 0\) (например, \(x = -1\)): \[ ( -1 - 5 )( -1 + 5 )( -1 )( -1 + 2 ) = (-)(+)(-)(+) > 0 \]
   • Для \(0 < x < 5\) (например, \(x = 1\)): \[ ( 1 - 5 )( 1 + 5 )( 1 )( 1 + 2 ) = (-)(+)(+)(+) < 0 \]
   • Для \(x > 5\) (например, \(x = 6\)): \[ ( 6 - 5 )( 6 + 5 )( 6 )( 6 + 2 ) = (+)(+)(+)(+) > 0 \]

6. Теперь мы можем подвести итоги по знакам выражения:

   • В интервале \( (-\infty, -5) \) — положительное.
   • В интервале \( (-5, -2) \) — отрицательное.
   • В интервале \( (-2, 0) \) — положительное.
   • В интервале \( (0, 5) \) — отрицательное.
   • В интервале \( (5, +\infty) \) — положительное.

7. Итак, выражение \( -4 (x^2 - 25)(x^2 + 2x) \) будет положительным в следующих интервалах:

   • \( (-\infty, -5) \)
   • \( (-2, 0) \)
   • \( (5, +\infty) \)

8. Ответ: \[ (-\infty, -5) \cup (-2, 0) \cup (5, +\infty) \]