Даны две правильные четырёхугольные призмы. Первая призма в четыре с половиной раза выше второй, а вторая вдвое уже первой. Во сколько раз объём первой призмы больше объёма второй?
Для того чтобы решить эту задачу, давайте начнем с определения основных характеристик правильной четырёхугольной призмы и формулы для вычисления её объёма.
Шаг 1: Понимание объёма призмы
Объем правильной четырёхугольной призмы (или, иначе, прямоугольной призмы) вычисляется по следующей формуле:
\[ V = S \cdot h \]
где:
- \( V \) — объём призмы,
- \( S \) — площадь основания,
- \( h \) — высота призмы.
Шаг 2: Анализ задачи
Дано, что:
- Первая призма в \( 4.5 \) раз выше второй.
- Вторая призма вдвое уже первой.
Обозначим:
- Высоту второй призмы \( h_2 \).
- Тогда высота первой призмы \( h_1 = 4.5 \cdot h_2 \).
Теперь давайте обозначим ширину второго основания \( a_2 \) (что соответствует ширине второй призмы).
- Ширина первого основания \( a_1 = 2 \cdot a_2 \) (так как вторая призма вдвое уже первой).
Шаг 3: Определение площадей оснований
Теперь мы можем вычислить площади оснований:
Площадь основания второй призмы: \[ S_2 = a_2^2 \]
Площадь основания первой призмы: \[ S_1 = a_1^2 = (2 \cdot a_2)^2 = 4 \cdot a_2^2 \]
Шаг 4: Вычисление объёма призм
Теперь подставим выражения для площадей и высот в формулу для объёма:
Объём второй призмы: \[ V_2 = S_2 \cdot h_2 = a_2^2 \cdot h_2 \]
Объём первой призмы: \[ V_1 = S_1 \cdot h_1 = 4 \cdot a_2^2 \cdot (4.5 \cdot h_2) = 18 \cdot a_2^2 \cdot h_2 \]
Шаг 5: Соотношение объёмов
Теперь мы можем найти, во сколько раз объём первой призмы больше объёма второй: \[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{18 \cdot a_2^2 \cdot h_2}{a_2^2 \cdot h_2} \] Сократим \( a_2^2 \) и \( h_2 \) (предполагая, что они не равны нулю): \[ \frac{V_1}{V_2} = 18 \]
Ответ
Объём первой призмы в 18 раз больше объёма второй призмы.
