Для решения задачи о нахождении шестого члена арифметической прогрессии, начнем с обозначения необходимых переменных.
Обозначим первый член прогрессии как ( a ), а разность прогрессии – как ( d ). Тогда члены арифметической прогрессии можно записать следующим образом:
- Первый член: ( a )
- Второй член: ( a + d )
- Третий член: ( a + 2d )
- Четвертый член: ( a + 3d )
- Пятый член: ( a + 4d )
- Шестой член: ( a + 5d )
Теперь выделим четные и нечетные члены.
Члены с четными номерами:
- Второй член: ( a + d )
- Четвертый член: ( a + 3d )
- Шестой член: ( a + 5d )
Сумма членов с четными номерами:
[
S_{\text{четные}} = (a + d) + (a + 3d) + (a + 5d)
]
[
S_{\text{четные}} = 3a + (1 + 3 + 5)d = 3a + 9d
]
По условию задачи, эта сумма равна 8:
[
3a + 9d = 8 \quad \text{(1)}
]
Члены с нечетными номерами:
- Первый член: ( a )
- Третий член: ( a + 2d )
- Пятый член: ( a + 4d )
Сумма членов с нечетными номерами:
[
S_{\text{нечетные}} = a + (a + 2d) + (a + 4d)
]
[
S_{\text{нечетные}} = 3a + (0 + 2 + 4)d = 3a + 6d
]
По условию задачи, эта сумма равна 28:
[
3a + 6d = 28 \quad \text{(2)}
]
Теперь у нас есть две уравнения:
- ( 3a + 9d = 8 )
- ( 3a + 6d = 28 )
Теперь вычтем (2) из (1):
[
(3a + 9d) - (3a + 6d) = 8 - 28
]
[
3d = -20
]
[
d = -\frac{20}{3}
]
Теперь подставим значение ( d ) в одно из уравнений, например, в (2):
[
3a + 6(-\frac{20}{3}) = 28
]
[
3a - 40 = 28
]
[
3a = 28 + 40
]
[
3a = 68
]
[
a = \frac{68}{3}
]
Теперь можем найти шестой член прогрессии:
[
a + 5d = \frac{68}{3} + 5 \left(-\frac{20}{3}\right)
]
[
= \frac{68}{3} - \frac{100}{3} = \frac{68 - 100}{3} = \frac{-32}{3}
]
Таким образом, шестой член арифметической прогрессии равен:
[
\boxed{-\frac{32}{3}}
]
