В арифметической прогрессии 8 8 членов.Сумма членов с чётными номерами равна 8 , 8, а сумма членов с нечётными номерами равна 28. 28. Найдите шестой член прогрессии.
Для решения задачи о нахождении шестого члена арифметической прогрессии, начнем с обозначения необходимых переменных.
Обозначим первый член прогрессии как \( a \), а разность прогрессии – как \( d \). Тогда члены арифметической прогрессии можно записать следующим образом:
- Первый член: \( a \)
- Второй член: \( a + d \)
- Третий член: \( a + 2d \)
- Четвертый член: \( a + 3d \)
- Пятый член: \( a + 4d \)
- Шестой член: \( a + 5d \)
Теперь выделим четные и нечетные члены.
Члены с четными номерами:
- Второй член: \( a + d \)
- Четвертый член: \( a + 3d \)
- Шестой член: \( a + 5d \)
Сумма членов с четными номерами: \[ S_{\text{четные}} = (a + d) + (a + 3d) + (a + 5d) \] \[ S_{\text{четные}} = 3a + (1 + 3 + 5)d = 3a + 9d \] По условию задачи, эта сумма равна 8: \[ 3a + 9d = 8 \quad \text{(1)} \]
Члены с нечетными номерами:
- Первый член: \( a \)
- Третий член: \( a + 2d \)
- Пятый член: \( a + 4d \)
Сумма членов с нечетными номерами: \[ S_{\text{нечетные}} = a + (a + 2d) + (a + 4d) \] \[ S_{\text{нечетные}} = 3a + (0 + 2 + 4)d = 3a + 6d \] По условию задачи, эта сумма равна 28: \[ 3a + 6d = 28 \quad \text{(2)} \]
Теперь у нас есть две уравнения:
- \( 3a + 9d = 8 \)
- \( 3a + 6d = 28 \)
Теперь вычтем (2) из (1): \[ (3a + 9d) - (3a + 6d) = 8 - 28 \] \[ 3d = -20 \] \[ d = -\frac{20}{3} \]
Теперь подставим значение \( d \) в одно из уравнений, например, в (2): \[ 3a + 6(-\frac{20}{3}) = 28 \] \[ 3a - 40 = 28 \] \[ 3a = 28 + 40 \] \[ 3a = 68 \] \[ a = \frac{68}{3} \]
Теперь можем найти шестой член прогрессии: \[ a + 5d = \frac{68}{3} + 5 \left(-\frac{20}{3}\right) \] \[ = \frac{68}{3} - \frac{100}{3} = \frac{68 - 100}{3} = \frac{-32}{3} \]
Таким образом, шестой член арифметической прогрессии равен: \[ \boxed{-\frac{32}{3}} \]
