В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а противолежащий угол равен В. Найдите другой катет треугольника и гипотенузу, если: а) b = 8, ∠B = 45°; б) b=12, ∠B= 60°; в)…

Для начала разберем, как связаны стороны и углы в прямоугольном треугольнике. В прямоугольном треугольнике один из катетов обозначается как \( b \), а противолежащий угол – как \( B \). Мы можем использовать тригонометрические функции: синус, косинус и тангенс. В данном случае у нас известен один катет и угол, поэтому мы можем найти другой катет и гипотенузу с использованием тригонометрических функций.

Общая формула:

• Синус угла: \( \sin(B) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \)
• Косинус угла: \( \cos(B) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \)
• Тангенс угла: \( \tan(B) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} \)

Мы можем использовать тангенс, чтобы найти другой катет, и затем синус или косинус, чтобы найти гипотенузу.

Теперь мы применяем эти формулы к каждому из случаев.

a) \( b = 8, \angle B = 45^\circ \)

1. Используем тангенс для нахождения прилежащего катета \( a \): \[ \tan(45^\circ) = \frac{b}{a} \implies 1 = \frac{8}{a} \implies a = 8 \]

2. Теперь найдем гипотенузу \( c \): \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} \]

Ответ:

• Другой катет \( a = 8 \)
• Гипотенуза \( c = 8\sqrt{2} \)

б) \( b = 12, \angle B = 60^\circ \)

1. Сначала находим прилежащий катет \( a \): \[ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} = \frac{b}{a} \implies a = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \]

2. Теперь найдем гипотенузу \( c \): \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 12^2} = \sqrt{48 + 144} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3} \]

Ответ:

• Другой катет \( a = 4\sqrt{3} \)
• Гипотенуза \( c = 8\sqrt{3} \)

в) \( b = 4\sqrt{3}, \angle B = 30^\circ \)

1. Сначала найдем прилежащий катет \( a \): \[ \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{b}{a} \implies a = b \cdot \sqrt{3} = (4\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 12 \]

2. Теперь найдем гипотенузу \( c \): \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{144 + 48} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3} \]

Ответ:

• Другой катет \( a = 12 \)
• Гипотенуза \( c = 8\sqrt{3} \)

Таким образом, для всех трех случаев мы нашли другой катет и гипотенузу с помощью тригонометрических функций.