Найди сумму первых восемнадцати членов арифметической прогрессии, если а12=26, а а21=62
Чтобы найти сумму первых восемнадцати членов арифметической прогрессии (АП), сначала определим параметры прогрессии: первый член (a1) и разность (d).
Из условия задачи мы знаем:
\(a_{12} = 26\) \(a_{21} = 62\)
Формула для n-го члена арифметической прогрессии выглядит так:
\[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \]
Подставим значения для \(a_{12}\) и \(a_{21}\):
- Для \(a_{12}\):
\[ 26 = a_1 + (12 - 1) \cdot d \] \[ 26 = a_1 + 11d \quad (1) \]
- Для \(a_{21}\):
\[ 62 = a_1 + (21 - 1) \cdot d \] \[ 62 = a_1 + 20d \quad (2) \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2). Чтобы найти разность d, вычтем уравнение (1) из уравнения (2):
\[ 62 - 26 = (a_1 + 20d) - (a_1 + 11d) \] \[ 36 = 9d \] \[ d = \frac{36}{9} = 4 \]
Теперь, зная разность (d = 4), подставим \(d\) обратно в одно из уравнений, чтобы найти первый член (a1). Используем уравнение (1):
\[ 26 = a_1 + 11 \cdot 4 \] \[ 26 = a_1 + 44 \] \[ a_1 = 26 - 44 = -18 \]
Теперь у нас есть первый член арифметической прогрессии: \(a_1 = -18\) и разность: \(d = 4\).
Теперь мы можем найти сумму первых 18 членов арифметической прогрессии. Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии выглядит так:
\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]
Где \(a_n\) — это n-й член прогрессии, который можно найти по формуле:
\[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \]
Для \(n = 18\):
\[ a_{18} = a_1 + (18 - 1) \cdot d \] \[ a_{18} = -18 + 17 \cdot 4 \] \[ a_{18} = -18 + 68 = 50 \]
Теперь подставим значения в формулу суммы:
\[ S_{18} = \frac{18}{2} \cdot (-18 + 50) \] \[ S_{18} = 9 \cdot 32 = 288 \]
Таким образом, сумма первых восемнадцати членов арифметической прогрессии равна 288.
