Чтобы найти сумму первых восемнадцати членов арифметической прогрессии (АП), сначала определим параметры прогрессии: первый член (a1) и разность (d).
Из условия задачи мы знаем:
(a_{12} = 26)
(a_{21} = 62)
Формула для n-го члена арифметической прогрессии выглядит так:
[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d ]
Подставим значения для (a_{12}) и (a_{21}):
- Для (a_{12}):
[
26 = a_1 + (12 - 1) \cdot d
]
[
26 = a_1 + 11d \quad (1)
]
- Для (a_{21}):
[
62 = a_1 + (21 - 1) \cdot d
]
[
62 = a_1 + 20d \quad (2)
]
Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2). Чтобы найти разность d, вычтем уравнение (1) из уравнения (2):
[
62 - 26 = (a_1 + 20d) - (a_1 + 11d)
]
[
36 = 9d
]
[
d = \frac{36}{9} = 4
]
Теперь, зная разность (d = 4), подставим (d) обратно в одно из уравнений, чтобы найти первый член (a1). Используем уравнение (1):
[
26 = a_1 + 11 \cdot 4
]
[
26 = a_1 + 44
]
[
a_1 = 26 - 44 = -18
]
Теперь у нас есть первый член арифметической прогрессии: (a_1 = -18) и разность: (d = 4).
Теперь мы можем найти сумму первых 18 членов арифметической прогрессии. Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии выглядит так:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)
]
Где (a_n) — это n-й член прогрессии, который можно найти по формуле:
[
a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d
]
Для (n = 18):
[
a_{18} = a_1 + (18 - 1) \cdot d
]
[
a_{18} = -18 + 17 \cdot 4
]
[
a_{18} = -18 + 68 = 50
]
Теперь подставим значения в формулу суммы:
[
S_{18} = \frac{18}{2} \cdot (-18 + 50)
]
[
S_{18} = 9 \cdot 32 = 288
]
Таким образом, сумма первых восемнадцати членов арифметической прогрессии равна 288.
