В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны соответственно 30 и 50. Найдите тангенс угла этого треугольника, образованного вторым катетом и гипотенузой

Чтобы найти тангенс угла в прямоугольном треугольнике, давайте сначала вспомним, что такое тангенс угла. В прямоугольном треугольнике тангенс угла \( \theta \) определяют как отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета:

\[ \tan(\theta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} \]

В данной задаче у нас есть прямоугольный треугольник, где один катет (обозначим его как \( a \)) равен 30, а гипотенуза (обозначим ее как \( c \)) равна 50. Чтобы найти второй катет (обозначим его как \( b \)), мы можем использовать теорему Пифагора:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 50^2 = 30^2 + b^2 \]

Сначала вычислим квадраты:

\[ 2500 = 900 + b^2 \]

Теперь из этого уравнения выразим \( b^2 \):

\[ b^2 = 2500 - 900 = 1600 \]

Теперь найдем \( b \) (второй катет):

\[ b = \sqrt{1600} = 40 \]

Теперь, зная все три стороны треугольника: \( a = 30 \), \( b = 40 \), и \( c = 50 \), мы можем найти тангенс одного из углов. Мы будем искать тангенс угла, образованного вторым катетом \( b \) и гипотенузой \( c \). При этом мы знаем, что данный угол \( \beta \) соответствует:

\[ \tan(\beta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{b}{a} = \frac{40}{30} \]

Упростим это дробное выражение:

\[ \tan(\beta) = \frac{40}{30} = \frac{4}{3} \]

Таким образом, тангенс угла, образованного вторым катетом и гипотенузой, равен \( \frac{4}{3} \).