Чтобы найти тангенс угла в прямоугольном треугольнике, давайте сначала вспомним, что такое тангенс угла. В прямоугольном треугольнике тангенс угла ( \theta ) определяют как отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета:
[
\tan(\theta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}
]
В данной задаче у нас есть прямоугольный треугольник, где один катет (обозначим его как ( a )) равен 30, а гипотенуза (обозначим ее как ( c )) равна 50. Чтобы найти второй катет (обозначим его как ( b )), мы можем использовать теорему Пифагора:
[
c^2 = a^2 + b^2
]
Подставим известные значения:
[
50^2 = 30^2 + b^2
]
Сначала вычислим квадраты:
[
2500 = 900 + b^2
]
Теперь из этого уравнения выразим ( b^2 ):
[
b^2 = 2500 - 900 = 1600
]
Теперь найдем ( b ) (второй катет):
[
b = \sqrt{1600} = 40
]
Теперь, зная все три стороны треугольника: ( a = 30 ), ( b = 40 ), и ( c = 50 ), мы можем найти тангенс одного из углов. Мы будем искать тангенс угла, образованного вторым катетом ( b ) и гипотенузой ( c ). При этом мы знаем, что данный угол ( \beta ) соответствует:
[
\tan(\beta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{b}{a} = \frac{40}{30}
]
Упростим это дробное выражение:
[
\tan(\beta) = \frac{40}{30} = \frac{4}{3}
]
Таким образом, тангенс угла, образованного вторым катетом и гипотенузой, равен ( \frac{4}{3} ).
