Для решения задачи, будем поэтапно разбирать функцию ( y = |x|(2x - 1) - 3x ) и определять прямую ( y = m ) с графиком этой функции.
Шаг 1: Анализ функции ( y = |x|(2x - 1) - 3x )
Функция состоит из нескольких частей, так как включает модуль ( |x| ). Мы можем рассмотреть два случая: когда ( x \geq 0 ) и ( x < 0 ).
Случай 1: ( x \geq 0 )
При ( x \geq 0 ) модуль можно убрать:
[
y = x(2x - 1) - 3x = 2x^2 - x - 3x = 2x^2 - 4x
]
Эта функция является параболой открытой вверх.
Случай 2: ( x < 0 )
При ( x < 0 ) модуль меняется:
[
y = -x(2x - 1) - 3x = -2x^2 + x - 3x = -2x^2 - 2x
]
Эта функция является параболой, но открытой вниз.
Шаг 2: Нахождение общих точек
Теперь у нас есть две функции:
- ( y_1 = 2x^2 - 4x ) для ( x \geq 0 )
- ( y_2 = -2x^2 - 2x ) для ( x < 0 )
Мы ищем такие значения ( m ), при которых прямая ( y = m ) пересекает график функции ровно в двух точках.
Находим корни ( y_1 )
Для ( y_1 = 2x^2 - 4x = m ):
[
2x^2 - 4x - m = 0
]
Решаем уравнение:
[
D_1 = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-m) = 16 + 8m
]
Чтобы прямая пересекала параболу не более чем в двух точках, дискриминант ( D_1 ) должен быть больше или равен нуля:
[
D_1 \geq 0 \implies 16 + 8m \geq 0 \implies m \geq -2
]
Находим корни ( y_2 )
Для ( y_2 = -2x^2 - 2x = m ):
[
-2x^2 - 2x - m = 0
]
Решаем уравнение:
[
D_2 = (-2)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-m) = 4 - 8m
]
Так же, условие для пересечения:
[
D_2 \geq 0 \implies 4 - 8m \geq 0 \implies m \leq \frac{1}{2}
]
Шаг 3: Объединение условий
Теперь у нас есть два условия:
- ( m \geq -2 )
- ( m \leq \frac{1}{2} )
Объединяя их, получаем:
[
-2 \leq m \leq \frac{1}{2}
]
Шаг 4: Определение значений ( m ) для двух общих точек
Теперь мы должны уточнить, когда прямая пересекает график ровно в двух точках. Это возможно при:
- ( m = -2 ) (парабола при ( x < 0 ) касается прямой)
- ( m = \frac{1}{2} ) (парабола при ( x \geq 0 ) касается прямой)
Таким образом, значения ( m ), при которых прямая ( y = m ) имеет с графиком ровно две общие точки, это:
[
-2, \frac{1}{2}
]
Ответ:
[
-2\frac{1}{2}
]
Таким образом, записываем ответ без пробелов:
[
-21/2
]
