Построй график функции y = ∣ x ∣ ( 2 x − 1 ) − 3 x y=∣x∣(2x−1)−3x и определи, при каких значениях m m прямая y = m y=m имеет с графиком ровно две общие точки. Если значений m m…

Для решения задачи, будем поэтапно разбирать функцию \( y = |x|(2x - 1) - 3x \) и определять прямую \( y = m \) с графиком этой функции.

Шаг 1: Анализ функции \( y = |x|(2x - 1) - 3x \)

Функция состоит из нескольких частей, так как включает модуль \( |x| \). Мы можем рассмотреть два случая: когда \( x \geq 0 \) и \( x < 0 \).

Случай 1: \( x \geq 0 \)

При \( x \geq 0 \) модуль можно убрать: \[ y = x(2x - 1) - 3x = 2x^2 - x - 3x = 2x^2 - 4x \] Эта функция является параболой открытой вверх.

Случай 2: \( x < 0 \)

При \( x < 0 \) модуль меняется: \[ y = -x(2x - 1) - 3x = -2x^2 + x - 3x = -2x^2 - 2x \] Эта функция является параболой, но открытой вниз.

Шаг 2: Нахождение общих точек

Теперь у нас есть две функции:

1. \( y_1 = 2x^2 - 4x \) для \( x \geq 0 \)
2. \( y_2 = -2x^2 - 2x \) для \( x < 0 \)

Мы ищем такие значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) пересекает график функции ровно в двух точках.

Находим корни \( y_1 \)

Для \( y_1 = 2x^2 - 4x = m \): \[ 2x^2 - 4x - m = 0 \] Решаем уравнение: \[ D_1 = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-m) = 16 + 8m \]

Чтобы прямая пересекала параболу не более чем в двух точках, дискриминант \( D_1 \) должен быть больше или равен нуля: \[ D_1 \geq 0 \implies 16 + 8m \geq 0 \implies m \geq -2 \]

Находим корни \( y_2 \)

Для \( y_2 = -2x^2 - 2x = m \): \[ -2x^2 - 2x - m = 0 \] Решаем уравнение: \[ D_2 = (-2)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-m) = 4 - 8m \]

Так же, условие для пересечения: \[ D_2 \geq 0 \implies 4 - 8m \geq 0 \implies m \leq \frac{1}{2} \]

Шаг 3: Объединение условий

Теперь у нас есть два условия:

1. \( m \geq -2 \)
2. \( m \leq \frac{1}{2} \)

Объединяя их, получаем: \[ -2 \leq m \leq \frac{1}{2} \]

Шаг 4: Определение значений \( m \) для двух общих точек

Теперь мы должны уточнить, когда прямая пересекает график ровно в двух точках. Это возможно при:

1. \( m = -2 \) (парабола при \( x < 0 \) касается прямой)
2. \( m = \frac{1}{2} \) (парабола при \( x \geq 0 \) касается прямой)

Таким образом, значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки, это: \[ -2, \frac{1}{2} \]

Ответ:

\[ -2\frac{1}{2} \]

Таким образом, записываем ответ без пробелов: \[ -21/2 \]