Семиклассника Сашу попросили определить объём одной монетки и выдали для этого 24 одинаковых монеты и мерный цилиндр. Для проведения опыта Саша налил в цилиндр воду до уровня 56…
Семиклассника Сашу попросили определить объём одной монетки и выдали для этого 24 одинаковых монеты и мерный цилиндр. Для проведения опыта Саша налил в цилиндр воду до уровня 56 мл, а затем стал кидать туда монетки, отмечая уровень воды и соответствующее количество монеток. Опустив в стакан 5 монеток, Саша заметил, что уровень воды расположился между отметками в 59 и 60 миллилитров; при 11 монетках — между 63 и 64 мл, а при 24 монетках — между 71 и 72 мл. На основании полученных Сашей результатов ответьте на следующие вопросы. 1) По результатам каждого измерения определите объём монетки и оцените погрешность определения объёма монетки. 2) В каком из трёх экспериментов точность определения объёма монетки будет наибольшей? 3) Пользуясь результатами того из трёх измерений, которое позволяет определить объём монетки с наибольшей точностью, найдите массу одной монетки и оцените её погрешность. Считайте, что плотность монетки равна 6,8 г/см3 точно.
Давайте разберем шаг за шагом, как можно решить задачу о определении объема монетки, опираясь на результаты экспериментов Саши.
1) Определение объема монетки и оценка погрешности
Для начала, давайте проанализируем данные эксперимента и определим объем монеты с помощью изменения уровня воды в цилиндре. Объем монеты можно рассчитать по формуле:
\[ V = \Delta V \]
где \(\Delta V\) — изменение уровня воды в миллилитрах (мл), соответствующее количеству монеток.
Эксперимент 1: 5 монеток
- Начальный уровень воды: 56 мл
- Конечный уровень воды: между 59 и 60 мл
Изменение уровня воды:
\[ \Delta V = 59 - 56 = 3 \text{ мл} \quad (\text{в среднем между 59 и 60 мл} = 3 \text{ мл}) \]
Объем одной монетки:
\[ V_{\text{монетки}} = \frac{3 \text{ мл}}{5} = 0.6 \text{ мл} \quad (или 0.6 \text{ см}^3) \]
Эксперимент 2: 11 монеток
- Конечный уровень воды: между 63 и 64 мл
Изменение уровня воды:
\[ \Delta V = 63 - 56 = 7 \text{ мл} \quad (\text{в среднем между 63 и 64} = 7 \text{ мл}) \]
Объем одной монетки:
\[ V_{\text{монетки}} = \frac{7 \text{ мл}}{11} \approx 0.6363 \text{ мл} \quad (или 0.6363 \text{ см}^3) \]
Эксперимент 3: 24 монетки
- Конечный уровень воды: между 71 и 72 мл
Изменение уровня воды:
\[ \Delta V = 71 - 56 = 15 \text{ мл} \quad (\text{в среднем между 71 и 72} = 15 \text{ мл}) \]
Объем одной монетки:
\[ V_{\text{монетки}} = \frac{15 \text{ мл}}{24} = 0.625 \text{ мл} \quad (или 0.625 \text{ см}^3) \]
Оценка погрешности
Для оценки погрешности можно воспользоваться формулой:
\[ \text{погрешность} = \frac{\text{максимальное значение} - \text{минимальное значение}}{2} \]
Погрешность измерений
- Для 5 монеток: \( \text{погрешность} = \frac{1 \text{ мл}}{5} = 0.2 \text{ мл}\)
- Для 11 монеток: \( \text{погрешность} = \frac{1 \text{ мл}}{11} \approx 0.0909 \text{ мл}\)
- Для 24 монеток: \( \text{погрешность} = \frac{1 \text{ мл}}{24} \approx 0.0417 \text{ мл}\)
2) Наибольшая точность определения объема монетки
Наибольшая точность наблюдается в эксперименте, в котором использованы 24 монетки, поскольку наименьшая погрешность (0.0417 мл) даёт более точное значение объема.
3) Нахождение массы одной монетки
Теперь, используя наиболее точное значение объема из эксперимента с 24 монетками:
\[ V = 0.625 \text{ см}^3 \]
С учетом плотности монетки \( \rho = 6.8 \text{ г/см}^3 \), масса одной монеты рассчитывается по формуле:
\[ m = V \cdot \rho \]
\[ m = 0.625 \text{ см}^3 \cdot 6.8 \text{ г/см}^3 = 4.25 \text{ г} \]
Оценка погрешности массы
Пгрешность массы можно оценить, умножив относительную погрешность объема на плотность: \[ \text{относительная погрешность объема} = \frac{0.0417}{0.625} \approx 0.0667 \quad (\approx 6.67\%) \] Тогда погрешность массы: \[ \text{погрешность массы} = 4.25 \text{ г} \cdot 0.0667 \approx 0.283 \text{ г} \]
Итоговые ответы
- Объем монетки (по различным методам):
- 5 монеток: 0.6 мл, погрешность 0.2 мл
- 11 монеток: 0.6363 мл, погрешность 0.0909 мл
- 24 монетки: 0.625 мл, погрешность 0.0417 мл
- Наибольшая точность — при 24 монетках.
- Масса одной монетки примерно 4.25 г с погрешностью около 0.283 г.
