1. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30°, равен 20 см. Найдите синус и тангенс другого острого угла этого треугольника.
Для решения задачи о прямоугольном треугольнике, в котором один из катетов связан с углом в 30°, давайте выполним следующие шаги.
Определим треугольник: У нас есть прямоугольный треугольник с углами 30°, 60° и 90°. Катет, противоположный углу в 30°, равен 20 см.
Определим значения катетов: В прямоугольном треугольнике с углом в 30° и 60° выполняются следующие соотношения:
- Катет, лежащий напротив угла в 30° (в нашем случае это 20 см), равен \( a \).
- Катет, лежащий напротив угла в 60° (обозначим его \( b \)), равен \( a \cdot \sqrt{3} \).
- Гипотенуза (обозначим её \( c \)) равна \( 2a \).
Подставим значение \( a \): \[ b = 20 \cdot \sqrt{3} \approx 20 \cdot 1.732 \approx 34.64 \text{ см} \] \[ c = 2 \cdot 20 = 40 \text{ см} \]
Находим синус и тангенс угла в 60° (так как это другой острый угол в треугольнике):
- Синус угла 60° определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе: \[ \sin(60°) = \frac{b}{c} = \frac{20 \sqrt{3}}{40} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Подставим числовое значение: \[ \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \]
- Тангенс угла 60° определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету: \[ \tan(60°) = \frac{b}{a} = \frac{20 \sqrt{3}}{20} = \sqrt{3} \]
Подставим числовое значение: \[ \tan(60°) \approx 1.732 \]
Ответ:
- Синус другого острого угла (60°) равен \( \sin(60°) \approx 0.866 \) (или \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)).
- Тангенс этого угла равен \( \tan(60°) \approx 1.732 \) (или \( \sqrt{3} \)).
Таким образом, мы нашли синус и тангенс другого острого угла треугольника. Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется более подробное объяснение отдельных шагов, не стесняйтесь спрашивать!
