Диаметр окружности, описанной около правильного четырёхугольника, равен 8 8 . Найди площадь четырёхугольника.
Для нахождения площади правильного четырёхугольника (квадрата) с данным диаметром окружности, давайте следовать пошагово.
Шаг 1: Находим радиус окружности
Диаметр окружности равен 8. Для нахождения радиуса \( R \) используем формулу:
\[ R = \frac{d}{2} \]
где \( d \) — диаметр.
Подставим значение:
\[ R = \frac{8}{2} = 4 \]
Шаг 2: Используем радиус для нахождения стороны квадрата
Для правильного квадрата, который вписан в окружность, радиус окружности равен половине диагонали квадрата. Обозначим сторону квадрата как \( a \).
Сначала найдем диагональ \( D \) квадрата:
\[ D = a\sqrt{2} \]
Так как радиус \( R \) равен половине диагонали, можем записать:
\[ R = \frac{D}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \]
Теперь подставим значение радиуса:
\[ 4 = \frac{a\sqrt{2}}{2} \]
Шаг 3: Решаем уравнение для нахождения стороны квадрата
Умножим обе стороны на 2:
\[ 8 = a\sqrt{2} \]
Теперь, чтобы найти \( a \), разделим обе стороны на \( \sqrt{2} \):
\[ a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \]
Шаг 4: Находим площадь квадрата
Площадь \( S \) квадрата вычисляется по формуле:
\[ S = a^2 \]
Подставим найденное значение стороны \( a \):
\[ S = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32 \]
Ответ
Площадь квадрата равна 32.
