Для нахождения площади правильного четырёхугольника (квадрата) с данным диаметром окружности, давайте следовать пошагово.
Шаг 1: Находим радиус окружности
Диаметр окружности равен 8. Для нахождения радиуса ( R ) используем формулу:
[
R = \frac{d}{2}
]
где ( d ) — диаметр.
Подставим значение:
[
R = \frac{8}{2} = 4
]
Шаг 2: Используем радиус для нахождения стороны квадрата
Для правильного квадрата, который вписан в окружность, радиус окружности равен половине диагонали квадрата. Обозначим сторону квадрата как ( a ).
Сначала найдем диагональ ( D ) квадрата:
[
D = a\sqrt{2}
]
Так как радиус ( R ) равен половине диагонали, можем записать:
[
R = \frac{D}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}
]
Теперь подставим значение радиуса:
[
4 = \frac{a\sqrt{2}}{2}
]
Шаг 3: Решаем уравнение для нахождения стороны квадрата
Умножим обе стороны на 2:
[
8 = a\sqrt{2}
]
Теперь, чтобы найти ( a ), разделим обе стороны на ( \sqrt{2} ):
[
a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}
]
Шаг 4: Находим площадь квадрата
Площадь ( S ) квадрата вычисляется по формуле:
[
S = a^2
]
Подставим найденное значение стороны ( a ):
[
S = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32
]
Ответ
Площадь квадрата равна 32.
