1) В треугольнике MNK проведена биссектриса NO. M = 75°, K = 35°. Доказать, что треугольник NOK равнобедренный

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

В треугольниках внутренние углы складываются в 180°. У нас есть треугольник MNK, где углы равны:

• \(M = 75^\circ\)
• \(K = 35^\circ\)

Сначала найдем третий угол \(N\): \[ N = 180^\circ - M - K = 180^\circ - 75^\circ - 35^\circ. \] \[ N = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ. \]

Теперь у нас есть все углы треугольника MNK:

• \(M = 75^\circ\)
• \(K = 35^\circ\)
• \(N = 70^\circ\)

Биссектрисa \(NO\) делит угол \(N\) на два равных угла: \[ N_1 = N_2 = \frac{N}{2} = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ. \]

Теперь мы можем рассмотреть треугольник NOK, в котором у нас есть:

• угол \(NOK = N_1 = 35^\circ\)
• угол \(OKN = K = 35^\circ\).

Так как два угла треугольника NOK равны, это означает, что третий угол, угол при O, также будет равен: \[ NOK + OKN + NKO = 180^\circ. \] \[ 35^\circ + 35^\circ + NKO = 180^\circ. \] Отсюда найдем угол \(NKO\): \[ NKO = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ. \]

Теперь можно сделать вывод о том, что в треугольнике NOK:

• угол \(NOK\) (35°) равен углу \(OKN\) (35°),

Таким образом, по определению равнобедренного треугольника, стороны, противолежащие равным углам, равны. Значит, стороны \(ON\) и \(OK\) равны.

Следовательно, треугольник NOK является равнобедренным.

Вывод: Мы доказали, что треугольник NOK равнобедренный, так как у него два равных угла.