Чтобы решить задачу, следуем пошаговым инструкциям.
1. Построим координатную плоскость
Координатная плоскость состоит из двух пересекающихся линий: горизонтальной оси X и вертикальной оси Y. На этой плоскости мы будем отмечать данные точки.
2. Найдем координаты точек
У нас есть 4 точки с координатами:
- Точка A(2; -1)
- Точка B(-1; -4)
- Точка C(2; -4)
- Точка D(-4; -1)
3. Отметим точки на координатной плоскости
Точка A(2; -1): находим по X = 2 (двигаемся вправо по оси X) и по Y = -1 (двигаемся вниз по оси Y). Точка A будет находиться на первом квадранте.
Точка B(-1; -4): находим по X = -1 (двигаемся влево по оси X) и по Y = -4 (двигаемся вниз по оси Y). Это точка во втором квадранте.
Точка C(2; -4): по X = 2 (вправо) и по Y = -4 (вниз). Это точка в третьем квадранте.
Точка D(-4; -1): по X = -4 (влево) и по Y = -1 (вниз). Это точка в четвертом квадранте.
4. Найдем уравнения отрезков AB и CD
Для поиска точки пересечения отрезков, сначала найдем уравнения линий, которые проходят через точки A и B, а также C и D.
Для отрезка AB:
Точки A(2; -1) и B(-1; -4).
Вычислим угловой коэффициент m (наклон):
[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-4 - (-1)}{-1 - 2} = \frac{-3}{-3} = 1
]
Теперь мы можем использовать уравнение прямой:
[
y - y_1 = m(x - x_1)
]
Подставив точку A(2, -1):
[
y + 1 = 1(x - 2) \quad \Rightarrow \quad y = x - 3
]
Уравнение прямой AB: (y = x - 3)
Для отрезка CD:
Точки C(2; -4) и D(-4; -1).
Рассчитаем угловой коэффициент m:
[
m = \frac{-1 - (-4)}{-4 - 2} = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}
]
Используем точку C(2, -4):
[
y + 4 = -\frac{1}{2}(x - 2)
]
Преобразуем это уравнение:
[
y + 4 = -\frac{1}{2}x + 1 \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{1}{2}x - 3
]
Уравнение прямой CD: (y = -\frac{1}{2}x - 3)
5. Найдем точку пересечения
Теперь нужно решить систему уравнений:
- (y = x - 3)
- (y = -\frac{1}{2}x - 3)
Приравняем правые части уравнений:
[
x - 3 = -\frac{1}{2}x - 3
]
Прибавим 3 к обеим сторонам:
[
x = -\frac{1}{2}x
]
Сложим обе стороны с (\frac{1}{2}x):
[
\frac{3}{2}x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0
]
Теперь подставим (x = 0) в одно из уравнений, например, в (y = x - 3):
[
y = 0 - 3 = -3
]
6. Записываем ответ
Координаты точки пересечения отрезков AB и CD:
[
(0; -3)
]
Ответ: ((0; -3))
