Для доказательства неравенства (6a(a+1)<(3a+1)(2a+1)+a) начнем с его упрощения. Пошагово разберём каждый элемент неравенства.
Шаг 1: Раскроем скобки
Сначала раскроем правую часть неравенства. Для этого перемножим выражения ((3a+1)(2a+1)):
[
(3a + 1)(2a + 1) = 3a \cdot 2a + 3a \cdot 1 + 1 \cdot 2a + 1 \cdot 1
]
[
= 6a^2 + 3a + 2a + 1 = 6a^2 + 5a + 1
]
Теперь подставим это обратно в неравенство:
[
6a(a + 1) < 6a^2 + 5a + 1 + a
]
Шаг 2: Упростим правую часть
Упрощаем правую часть, объединив подобные члены:
[
6a^2 + 5a + 1 + a = 6a^2 + 6a + 1
]
Теперь у нас есть:
[
6a(a + 1) < 6a^2 + 6a + 1
]
Шаг 3: Переносим все на одну сторону
Теперь перенесем левую часть на правую:
[
6a(a + 1) - (6a^2 + 6a + 1) < 0
]
Упростим левую часть:
[
6a^2 + 6a - 6a^2 - 6a - 1 < 0
]
[
-1 < 0
]
Шаг 4: Анализ полученного неравенства
Мы получили ( -1 < 0 ), которое является истинным для всех значений (a). Это означает, что исходное неравенство (6a(a+1)<(3a+1)(2a+1)+a) выполняется для всех (a).
Вывод
Таким образом, мы доказали неравенство:
[
6a(a + 1) < (3a + 1)(2a + 1) + a \quad \text{для всех } a
]
Это завершает доказательство.
