Докажите неравенство: 6a(a+1)<(3a+1)(2a+1)+a

Для доказательства неравенства \(6a(a+1)<(3a+1)(2a+1)+a\) начнем с его упрощения. Пошагово разберём каждый элемент неравенства.

Шаг 1: Раскроем скобки

Сначала раскроем правую часть неравенства. Для этого перемножим выражения \((3a+1)(2a+1)\):

\[ (3a + 1)(2a + 1) = 3a \cdot 2a + 3a \cdot 1 + 1 \cdot 2a + 1 \cdot 1 \] \[ = 6a^2 + 3a + 2a + 1 = 6a^2 + 5a + 1 \]

Теперь подставим это обратно в неравенство:

\[ 6a(a + 1) < 6a^2 + 5a + 1 + a \]

Шаг 2: Упростим правую часть

Упрощаем правую часть, объединив подобные члены:

\[ 6a^2 + 5a + 1 + a = 6a^2 + 6a + 1 \]

Теперь у нас есть:

\[ 6a(a + 1) < 6a^2 + 6a + 1 \]

Шаг 3: Переносим все на одну сторону

Теперь перенесем левую часть на правую:

\[ 6a(a + 1) - (6a^2 + 6a + 1) < 0 \]

Упростим левую часть:

\[ 6a^2 + 6a - 6a^2 - 6a - 1 < 0 \] \[ -1 < 0 \]

Шаг 4: Анализ полученного неравенства

Мы получили \( -1 < 0 \), которое является истинным для всех значений \(a\). Это означает, что исходное неравенство \(6a(a+1)<(3a+1)(2a+1)+a\) выполняется для всех \(a\).

Вывод

Таким образом, мы доказали неравенство:

\[ 6a(a + 1) < (3a + 1)(2a + 1) + a \quad \text{для всех } a \]

Это завершает доказательство.