Для решения задачи сначала вспомним, что в арифметической прогрессии (АП) каждый член можно выразить через первый член и разность. Обозначим:
- ( a_1 ) — первый член АП.
- ( d ) — разность, которая равна 14.
- ( S_n ) — сумма первых ( n ) членов АП.
Формула для суммы первых ( n ) членов арифметической прогрессии выглядит так:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)
]
где ( a_n ) — n-й член прогрессии. Также можно выразить ( a_n ) через ( a_1 ):
[
a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d
]
Подставим ( a_n ) в формулу суммы:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + (a_1 + (n - 1) \cdot d))
]
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n - 1) \cdot d)
]
Теперь подставим известные значения: ( n = 17 ), ( d = 14 ) и ( S_n = -731 ). Получим:
[
-731 = \frac{17}{2} \cdot (2a_1 + (17 - 1) \cdot 14)
]
Упрощаем выражение:
[
-731 = \frac{17}{2} \cdot (2a_1 + 16 \cdot 14)
]
[
-731 = \frac{17}{2} \cdot (2a_1 + 224)
]
Теперь умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
[
-1462 = 17 \cdot (2a_1 + 224)
]
Разделим обе стороны на 17:
[
\frac{-1462}{17} = 2a_1 + 224
]
[
-86 = 2a_1 + 224
]
Теперь выразим ( 2a_1 ):
[
2a_1 = -86 - 224
]
[
2a_1 = -310
]
Найдём ( a_1 ):
[
a_1 = \frac{-310}{2} = -155
]
Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен ( a_1 = -155 ).
Ответ:
Первый член арифметической прогрессии: ( -155 ).
