Найди первый член арифметической прогрессии, если d = 14 d=14 , а сумма первых семнадцати членов прогрессии равна − 731 −731

Для решения задачи сначала вспомним, что в арифметической прогрессии (АП) каждый член можно выразить через первый член и разность. Обозначим:

• \( a_1 \) — первый член АП.
• \( d \) — разность, которая равна 14.
• \( S_n \) — сумма первых \( n \) членов АП.

Формула для суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии выглядит так:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

где \( a_n \) — n-й член прогрессии. Также можно выразить \( a_n \) через \( a_1 \):

\[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \]

Подставим \( a_n \) в формулу суммы:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + (a_1 + (n - 1) \cdot d)) \] \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n - 1) \cdot d) \]

Теперь подставим известные значения: \( n = 17 \), \( d = 14 \) и \( S_n = -731 \). Получим:

\[ -731 = \frac{17}{2} \cdot (2a_1 + (17 - 1) \cdot 14) \]

Упрощаем выражение:

\[ -731 = \frac{17}{2} \cdot (2a_1 + 16 \cdot 14) \] \[ -731 = \frac{17}{2} \cdot (2a_1 + 224) \]

Теперь умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ -1462 = 17 \cdot (2a_1 + 224) \]

Разделим обе стороны на 17:

\[ \frac{-1462}{17} = 2a_1 + 224 \] \[ -86 = 2a_1 + 224 \]

Теперь выразим \( 2a_1 \):

\[ 2a_1 = -86 - 224 \] \[ 2a_1 = -310 \]

Найдём \( a_1 \):

\[ a_1 = \frac{-310}{2} = -155 \]

Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен \( a_1 = -155 \).

Ответ:

Первый член арифметической прогрессии: \( -155 \).