Является ли число -62 членом арифметической прогрессии, первый член которой равен 23, а пятый равен 3? Если да, то определите номер этого члена.
Чтобы выяснить, является ли число -62 членом заданной арифметической прогрессии, начнем с того, что арифметическая прогрессия определяется первым членом и разностью между соседними членами.
- Определим разность прогрессии. Рассмотрим первый и пятый члены прогрессии:
- Первый член \( a_1 = 23 \)
- Пятый член \( a_5 = 3 \)
Формула для нахождения \( n \)-го члена арифметической прогрессии выглядит так:
\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]
где \( d \) — разность прогрессии, а \( n \) — номер члена.
Так как \( a_5 = a_1 + 4d \), мы можем записать уравнение:
\[ 3 = 23 + 4d \]
Вычтем 23 из обеих сторон:
\[ 3 - 23 = 4d \\ -20 = 4d \]
Теперь разделим обе стороны на 4, чтобы найти \( d \):
\[ d = -5 \]
Теперь у нас есть разность прогрессии \( d = -5 \).
Найдем общее выражение для \( n \)-го члена:
Теперь подставим \( d \) обратно в формулу для \( n \)-го члена:
\[ a_n = 23 + (n - 1)(-5) \]
Упрощаем:
\[ a_n = 23 - 5(n - 1) \\ a_n = 23 - 5n + 5 \\ a_n = 28 - 5n \]
- Теперь проверим, является ли -62 членом прогрессии.
Для этого приравняем \( a_n \) к -62 и решим уравнение:
\[ 28 - 5n = -62 \]
Вычтем 28 из обеих сторон:
\[ -5n = -62 - 28 \\ -5n = -90 \]
Теперь делим обе стороны на -5:
\[ n = \frac{-90}{-5} \\ n = 18 \]
Ответ:
Да, число -62 является членом данной арифметической прогрессии, и оно является 18-м членом прогрессии.
