Окружность с радиусом 3, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD, касается её боковой стороны АВ в точке Е. Найдите плошадь трапеции, если известно, что ВЕ = 2, а ВС - меньшее основание трапеции

Чтобы решить задачу, начнем с анализа условий. У нас есть равнобедренная трапеция ABCD, в которой вписана окружность радиусом 3. Окружность касается боковой стороны AB в точке E, и нам даны следующие отношения: BE = 2, а BC - меньшее основание трапеции. Давайте обозначим: - \( r = 3 \) - радиус окружности; - \( BE = 2 \); - \( BC = a \) - меньшее основание трапеции. 1. **Найдём длину стороны AB.** Поскольку окружность касается стороны AB, то мы знаем, что площадь трапеции можно выразить через радиус окружности: \[ P = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h \] где \( a \) и \( b \) - основания, а \( h \) - высота. Однако мы можем также использовать другое свойство: Поскольку окружность касается боковых сторон трапеции, длины отрезков, образованных точками касания и вершинами, будут равны. Таким образом: \[ AE = AF \\ BE = CF \] Обозначим \( AE = x \), тогда \( AB = x + BE = x + 2 \) и \( AD = x + CF = x \). Применяем свойства равнобедренной трапеции: - \( AE = AD \) - \( BE = BC \) То есть \( BE = 2 \) и \( BC = a \) говорят нам, что \( AD = AE = x \). 2. **Найдем высоту (h) трапеции.** Высота трапеции равна радиусу окружности, то есть \( h = r = 3 \). 3. **Запишем формулу для площади трапеции.** Площадь трапеции в общем виде: \[ P = \frac{1}{2}(a + b)h \] Для нашего случая: - \( h = 3 \) - \( a = BE + BC = 2 + a \) - \( b = AD + AE = 2 + x \) Нам нужно будет выразить \( x \). Поскольку \( x = AD \) и \( AB = BE + x \), \( x + 2 \) также равно \( AB \). 4. **Решим для условий задачи.** Нам известны BE и h. Используя свойства равнобедренной трапеции: \[ P = (BE + a) \cdot h = (2 + a) \cdot 3 \] Если мы предположим, что \( a = BE = 2 \): В таком случае: - \( BC = 2 \) - \( b \) = основание может быть выражено и как: - Поскольку \( AB \) и \( AD \) равны: - Для получения необходимой площади, нам также нужен отрезок AD или BC. Если \( a = 2 \): Тогда \( P = \frac{1}{2} (2 + (2 + 3))(3) \) Подставляем значения и считаем: 5. **Расчёт площади.** Площадь трапеции, где \( b = 5 \): \[ P = \frac{1}{2} \cdot (2 + 5) \cdot 3 = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 3 = \frac{21}{2} = 10.5 \] Таким образом, площадь равнобедренной трапеции ABCD равна \( 10.5 \) квадратных единиц.