В четырёхугольнике все стороны и углы равны. Вписанная в четырёхугольник окружность имеет радиус 6. Найди площадь четырёхугольника.

Для решения задачи начнём с анализа предоставленной информации. Мы имеем равносторонний четырёхугольник, что означает, что он является квадратом, так как все стороны и углы равны.

Шаг 1: Поймем, что обходимся с квадратом

Равносторонний четырёхугольник с углами по 90 градусов - это квадрат. Уравнение площади квадрата можно выразить как:

\[ S = a^2 \]

где \( S \) — площадь квадрата, \( a \) — длина стороны квадрата.

Шаг 2: Связь радиуса вписанной окружности и стороны квадрата

Известно, что радиус вписанной окружности \( r \) для квадрата можно найти по формуле:

\[ r = \frac{a}{2} \]

где \( r \) — радиус вписанной окружности, а \( a \) — длина стороны квадрата. С помощью этой формулы мы можем выразить длину стороны квадрата через радиус.

Шаг 3: Подставим известный радиус

В нашей задаче радиус вписанной окружности равен 6:

\[ 6 = \frac{a}{2} \]

Из этого уравнения мы можем решить для \( a \):

\[ a = 6 \times 2 = 12 \]

Шаг 4: Найдем площадь квадрата

Теперь мы можем найти площадь квадрата, подставив значение стороны \( a \) в формулу для площади:

\[ S = a^2 = 12^2 = 144 \]

Ответ

Таким образом, площадь четырёхугольника составляет \( \boxed{144} \).