Решим систему уравнений с помощью метода подстановки. Сначала запишем нашу систему:
( x - y = 1 )
( \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{1}{72} )
Шаг 1: Выразим одну переменную через другую из первого уравнения. Выразим ( y ) через ( x ):
[
y = x - 1
]
Шаг 2: Подставим выражение для ( y ) во второе уравнение:
[
\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x} = \frac{1}{72}
]
Шаг 3: Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю. Общий знаменатель будет ( x(x - 1) ):
[
\frac{x - (x - 1)}{x(x - 1)} = \frac{1}{72}
]
Упрощаем числитель:
[
\frac{x - x + 1}{x(x - 1)} = \frac{1}{72}
]
Это упрощается до:
[
\frac{1}{x(x - 1)} = \frac{1}{72}
]
Шаг 4: Теперь сделаем перекрестное умножение:
[
72 = x(x - 1)
]
Раскроем скобки:
[
72 = x^2 - x
]
Шаг 5: Переносим все в одну сторону уравнения:
[
x^2 - x - 72 = 0
]
Шаг 6: Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант ( D ) у нас составит:
[
D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289
]
Шаг 7: Находим корни уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 17}{2}
]
Это дает два значения для ( x ):
- ( x_1 = \frac{18}{2} = 9 )
- ( x_2 = \frac{-16}{2} = -8 )
Шаг 8: Теперь найдем соответствующие значения ( y ) для каждого найденного значения ( x ):
Если ( x = 9 ):
[
y = 9 - 1 = 8
]
Если ( x = -8 ):
[
y = -8 - 1 = -9
]
Таким образом, мы имеем два возможных решения для системы уравнений:
[
(x, y) = (9, 8) \quad \text{и} \quad (x, y) = (-8, -9)
]
Ответ: Решения системы уравнений: ( (9, 8) ) и ( (-8, -9) ).
