Реши способом подстановки систему уравнений: { x − y = 1 1 y − 1 x = 1 72 x−y=1 y 1 − x 1 = 72 1
Решим систему уравнений с помощью метода подстановки. Сначала запишем нашу систему:
\( x - y = 1 \)
\( \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{1}{72} \)
Шаг 1: Выразим одну переменную через другую из первого уравнения. Выразим \( y \) через \( x \):
\[ y = x - 1 \]
Шаг 2: Подставим выражение для \( y \) во второе уравнение:
\[ \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x} = \frac{1}{72} \]
Шаг 3: Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \( x(x - 1) \):
\[ \frac{x - (x - 1)}{x(x - 1)} = \frac{1}{72} \]
Упрощаем числитель:
\[ \frac{x - x + 1}{x(x - 1)} = \frac{1}{72} \]
Это упрощается до:
\[ \frac{1}{x(x - 1)} = \frac{1}{72} \]
Шаг 4: Теперь сделаем перекрестное умножение:
\[ 72 = x(x - 1) \]
Раскроем скобки:
\[ 72 = x^2 - x \]
Шаг 5: Переносим все в одну сторону уравнения:
\[ x^2 - x - 72 = 0 \]
Шаг 6: Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант \( D \) у нас составит:
\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289 \]
Шаг 7: Находим корни уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 17}{2} \]
Это дает два значения для \( x \):
- \( x_1 = \frac{18}{2} = 9 \)
- \( x_2 = \frac{-16}{2} = -8 \)
Шаг 8: Теперь найдем соответствующие значения \( y \) для каждого найденного значения \( x \):
Если \( x = 9 \): \[ y = 9 - 1 = 8 \]
Если \( x = -8 \): \[ y = -8 - 1 = -9 \]
Таким образом, мы имеем два возможных решения для системы уравнений:
\[ (x, y) = (9, 8) \quad \text{и} \quad (x, y) = (-8, -9) \]
Ответ: Решения системы уравнений: \( (9, 8) \) и \( (-8, -9) \).
