Найди радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 5, 6, 9.

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в треугольник, необходимо воспользоваться формулой: \[ r = \frac{S}{p} \] где: - \( r \) — радиус вписанной окружности, - \( S \) — площадь треугольника, - \( p \) — полупериметр треугольника. ### Шаг 1: Найдем полупериметр треугольника. Полупериметр \( p \) вычисляется по формуле: \[ p = \frac{a + b + c}{2} \] где \( a \), \( b \) и \( c \) — длины сторон треугольника. В нашем случае: - \( a = 5 \) - \( b = 6 \) - \( c = 9 \) Теперь подставим значения: \[ p = \frac{5 + 6 + 9}{2} = \frac{20}{2} = 10 \] ### Шаг 2: Найдем площадь треугольника \( S \). Чтобы найти площадь треугольника, можем использовать формулу Герона: \[ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \] Теперь подставим все известные значения: - \( p = 10 \) - \( a = 5 \) - \( b = 6 \) - \( c = 9 \) Расчёты: 1. \( p - a = 10 - 5 = 5 \) 2. \( p - b = 10 - 6 = 4 \) 3. \( p - c = 10 - 9 = 1 \) Теперь подставим все эти значения в формулу для площади: \[ S = \sqrt{10 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 1} \] Посчитаем: \[ S = \sqrt{10 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 1} = \sqrt{200} \] \[ S = 10\sqrt{2} \] ### Шаг 3: Найдем радиус вписанной окружности \( r \). Теперь, имея площадь \( S \) и полупериметр \( p \), можем найти радиус: \[ r = \frac{S}{p} = \frac{10\sqrt{2}}{10} = \sqrt{2} \] ### Ответ: Таким образом, радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 5, 6, 9, равен \( \sqrt{2} \).