Найди радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 5, 6, 9.

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в треугольник, необходимо воспользоваться формулой:

\[ r = \frac{S}{p} \]

где:

• \( r \) — радиус вписанной окружности,
• \( S \) — площадь треугольника,
• \( p \) — полупериметр треугольника.

Шаг 1: Найдем полупериметр треугольника.

Полупериметр \( p \) вычисляется по формуле:

\[ p = \frac{a + b + c}{2} \]

где \( a \), \( b \) и \( c \) — длины сторон треугольника. В нашем случае:

• \( a = 5 \)
• \( b = 6 \)
• \( c = 9 \)

Теперь подставим значения:

\[ p = \frac{5 + 6 + 9}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]

Шаг 2: Найдем площадь треугольника \( S \).

Чтобы найти площадь треугольника, можем использовать формулу Герона:

\[ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \]

Теперь подставим все известные значения:

• \( p = 10 \)
• \( a = 5 \)
• \( b = 6 \)
• \( c = 9 \)

Расчёты:

1. \( p - a = 10 - 5 = 5 \)
2. \( p - b = 10 - 6 = 4 \)
3. \( p - c = 10 - 9 = 1 \)

Теперь подставим все эти значения в формулу для площади:

\[ S = \sqrt{10 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 1} \]

Посчитаем:

\[ S = \sqrt{10 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 1} = \sqrt{200} \]

\[ S = 10\sqrt{2} \]

Шаг 3: Найдем радиус вписанной окружности \( r \).

Теперь, имея площадь \( S \) и полупериметр \( p \), можем найти радиус:

\[ r = \frac{S}{p} = \frac{10\sqrt{2}}{10} = \sqrt{2} \]

Ответ:

Таким образом, радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 5, 6, 9, равен \( \sqrt{2} \).