До какой температуры нужно нагреть воздух, содержащийся в открытой колбе при 20°С, чтобы плотность воздуха уменьшилась в 2 раза?

Чтобы решить данную задачу, воспользуемся законом Бойля-Мариотта и уравнением состояния идеального газа.

Данные:

• Начальная температура \( T_1 = 20^\circ C = 293 K \) (переведем температуру в Кельвины, прибавив 273)
• Плотность воздуха уменьшается в 2 раза, то есть конечная плотность \( \rho_2 = \frac{1}{2} \rho_1 \)

Основные уравнения:

Плотность (\( \rho \)) идеального газа связана с давлением (\( P \)), температурой (\( T \)) и молярной массой (\( M \)) следующей формулой:

\[ \rho = \frac{PM}{RT} \]

где:

• \( R \) — универсальная газовая постоянная (около \( 8.31 \, \text{J/(mol·K)} \))

Для данной задачи предполагаем, что давление остается постоянным. Поэтому, если плотность уменьшается в 2 раза, можно записать:

\[ \rho_2 = \frac{P \cdot M}{R \cdot T_2} \]

где \( T_2 \) – это конечная температура, которую мы ищем.

Сравнение начального и конечного состояния:

Поскольку давление и молярная масса не изменяются, можем записать отношение плотностей:

\[ \frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{\frac{PM}{RT_1}}{\frac{PM}{RT_2}} = \frac{T_2}{T_1} \]

Подставим значения, учитывая, что \( \rho_2 = \frac{1}{2} \rho_1 \):

\[ \frac{\rho_1}{\frac{1}{2}\rho_1} = \frac{T_2}{T_1} \]

Упрощаем:

\[ 2 = \frac{T_2}{T_1} \]

Теперь подставляем известную температуру \( T_1 \):

\[ T_2 = 2 \cdot T_1 = 2 \cdot 293 K = 586 K \]

Перевод в градусы Цельсия:

Чтобы получить конечную температуру в градусах Цельсия, вычтем 273:

\[ T_2 = 586 K - 273 = 313^\circ C \]

Ответ:

Температуру, до которой нужно нагреть воздух, равную 313 °C.