Чтобы решить данную задачу, воспользуемся законом Бойля-Мариотта и уравнением состояния идеального газа.
Данные:
- Начальная температура ( T_1 = 20^\circ C = 293 K ) (переведем температуру в Кельвины, прибавив 273)
- Плотность воздуха уменьшается в 2 раза, то есть конечная плотность ( \rho_2 = \frac{1}{2} \rho_1 )
Основные уравнения:
Плотность (( \rho )) идеального газа связана с давлением (( P )), температурой (( T )) и молярной массой (( M )) следующей формулой:
[
\rho = \frac{PM}{RT}
]
где:
- ( R ) — универсальная газовая постоянная (около ( 8.31 , \text{J/(mol·K)} ))
Для данной задачи предполагаем, что давление остается постоянным. Поэтому, если плотность уменьшается в 2 раза, можно записать:
[
\rho_2 = \frac{P \cdot M}{R \cdot T_2}
]
где ( T_2 ) – это конечная температура, которую мы ищем.
Сравнение начального и конечного состояния:
Поскольку давление и молярная масса не изменяются, можем записать отношение плотностей:
[
\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{\frac{PM}{RT_1}}{\frac{PM}{RT_2}} = \frac{T_2}{T_1}
]
Подставим значения, учитывая, что ( \rho_2 = \frac{1}{2} \rho_1 ):
[
\frac{\rho_1}{\frac{1}{2}\rho_1} = \frac{T_2}{T_1}
]
Упрощаем:
[
2 = \frac{T_2}{T_1}
]
Теперь подставляем известную температуру ( T_1 ):
[
T_2 = 2 \cdot T_1 = 2 \cdot 293 K = 586 K
]
Перевод в градусы Цельсия:
Чтобы получить конечную температуру в градусах Цельсия, вычтем 273:
[
T_2 = 586 K - 273 = 313^\circ C
]
Ответ:
Температуру, до которой нужно нагреть воздух, равную 313 °C.
