Найди объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна  5√2 , а боковое ребро — √106

Чтобы найти объём правильной четырёхугольной пирамиды, необходимо применить известную формулу для объёма, которая выглядит так: \[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \] где \( V \) — объём пирамиды, \( S_{осн} \) — площадь основания, а \( h \) — высота пирамиды. ### Шаг 1: Найдём площадь основания Сначала найдём площадь основания. Osнование в данном случае является квадратом, так как это правильная четырёхугольная пирамида. Площадь квадрата рассчитывается по формуле: \[ S_{осн} = a^2 \] где \( a \) — длина стороны основания. В нашем случае сторона основания равна \( 5\sqrt{2} \): \[ S_{осн} = (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50 \] ### Шаг 2: Найдём высоту пирамиды Теперь нам нужно найти высоту пирамиды \( h \). В правильной четырёхугольной пирамиде высота \( h \) может быть найдена через высоту треугольника, образуемого высотой пирамиды, половиной стороны основания и боковым рёбером. В этом треугольнике: - Половина стороны основания будет равна \( \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \) (умножаем и делим на \(\sqrt{2}\) для удобства расчётов), - Боковое ребро равно \( \sqrt{106} \). Используя теорему Пифагора в этом треугольнике, мы можем записать: \[ h^2 + \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 = (\sqrt{106})^2 \] Подставляем известные значения: \[ h^2 + \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 106 \] Сначала найдём \( \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 \): \[ \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{25 \cdot 2}{4} = \frac{50}{4} = 12.5 \] Теперь подставим это значение в уравнение: \[ h^2 + 12.5 = 106 \] Вычтем 12.5 из обеих сторон: \[ h^2 = 106 - 12.5 = 93.5 \] Теперь найдём \( h \): \[ h = \sqrt{93.5} \] ### Шаг 3: Находим объем пирамиды Теперь, подставим значение площади основания и высоты в формулу для объёма: \[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 50 \cdot \sqrt{93.5} \] Рассчитаем объём: \[ V = \frac{50 \cdot \sqrt{93.5}}{3} \] Таким образом, объём правильной четырёхугольной пирамиды равен \( \frac{50 \cdot \sqrt{93.5}}{3} \) кубических единиц. Это и есть окончательный ответ.