Найди объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 5√2 , а боковое ребро — √106

Чтобы найти объём правильной четырёхугольной пирамиды, необходимо применить известную формулу для объёма, которая выглядит так:

\[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \]

где \( V \) — объём пирамиды, \( S_{осн} \) — площадь основания, а \( h \) — высота пирамиды.

Шаг 1: Найдём площадь основания

Сначала найдём площадь основания. Osнование в данном случае является квадратом, так как это правильная четырёхугольная пирамида. Площадь квадрата рассчитывается по формуле:

\[ S_{осн} = a^2 \]

где \( a \) — длина стороны основания.

В нашем случае сторона основания равна \( 5\sqrt{2} \):

\[ S_{осн} = (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50 \]

Шаг 2: Найдём высоту пирамиды

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды \( h \). В правильной четырёхугольной пирамиде высота \( h \) может быть найдена через высоту треугольника, образуемого высотой пирамиды, половиной стороны основания и боковым рёбером.

В этом треугольнике:

• Половина стороны основания будет равна \( \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \) (умножаем и делим на \(\sqrt{2}\) для удобства расчётов),
• Боковое ребро равно \( \sqrt{106} \).

Используя теорему Пифагора в этом треугольнике, мы можем записать:

\[ h^2 + \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 = (\sqrt{106})^2 \]

Подставляем известные значения:

\[ h^2 + \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 106 \]

Сначала найдём \( \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 \):

\[ \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{25 \cdot 2}{4} = \frac{50}{4} = 12.5 \]

Теперь подставим это значение в уравнение:

\[ h^2 + 12.5 = 106 \]

Вычтем 12.5 из обеих сторон:

\[ h^2 = 106 - 12.5 = 93.5 \]

Теперь найдём \( h \):

\[ h = \sqrt{93.5} \]

Шаг 3: Находим объем пирамиды

Теперь, подставим значение площади основания и высоты в формулу для объёма:

\[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 50 \cdot \sqrt{93.5} \]

Рассчитаем объём:

\[ V = \frac{50 \cdot \sqrt{93.5}}{3} \]

Таким образом, объём правильной четырёхугольной пирамиды равен \( \frac{50 \cdot \sqrt{93.5}}{3} \) кубических единиц.

Это и есть окончательный ответ.