(Х+5) (х-9) >0

Решим неравенство \((x + 5)(x - 9) > 0\). Давай разберем его шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем корни неравенства.

Корни неравенства находятся при равенстве произведения нулю:

\[ (x + 5)(x - 9) = 0 \]

Это дает два уравнения:

1. \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\)
2. \(x - 9 = 0 \Rightarrow x = 9\)

Таким образом, корни — это \(x = -5\) и \(x = 9\).

Шаг 2: Определим промежутки.

Теперь мы знаем, что функция меняет знак в точках \(x = -5\) и \(x = 9\). Разделим числовую прямую на три промежутка:

1. \((-∞, -5)\)
2. \((-5, 9)\)
3. \((9, +∞)\)

Шаг 3: Проверим каждую область.

Теперь нужно проверить знак произведения \((x + 5)(x - 9)\) в каждом из промежутков.

1. Промежуток \((-∞, -5)\):

   • Выберем, например, \(x = -6\): \[ (-6 + 5)(-6 - 9) = (-1)(-15) = 15 > 0 \] Знак положительный.

2. Промежуток \((-5, 9)\):

   • Выберем, например, \(x = 0\): \[ (0 + 5)(0 - 9) = (5)(-9) = -45 < 0 \] Знак отрицательный.

3. Промежуток \((9, +∞)\):

   • Выберем, например, \(x = 10\): \[ (10 + 5)(10 - 9) = (15)(1) = 15 > 0 \] Знак положительный.

Шаг 4: Запишем ответ.

Мы нуждаемся в тех промежутках, где произведение больше нуля. Это происходит в промежутках:

• \((-∞, -5)\)
• \((9, +∞)\)

Неравенство не включает точки \(x = -5\) и \(x = 9\), так как в них произведение равно нулю, а нас интересует строгое неравенство (> 0).

Итог:

Итак, ответ записывается в виде объединения промежутков:

\[ x \in (-∞, -5) \cup (9, +∞) \]

Это означает, что любые значения \(x\) из указанных интервалов удовлетворяют неравенству.