Задача № 3: В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 4 см и 3 см, а площадь его диагонального сечения равна 50 см². Найдите s полной поверхности

Для решения задачи о прямоугольном параллелепипеде начнем с определения основных параметров и формул.

Шаг 1: Данные

• Длина основания (a) = 4 см
• Ширина основания (b) = 3 см
• Площадь диагонального сечения (S) = 50 см²

Шаг 2: Определение высоты

В прямоугольном параллелепипеде диагональное сечение представляет собой треугольник, образованный диагоналями и высотой параллелепипеда. Площадь такого сечения можно вычислить по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h \]

где \(d\) — длина диагонали основания, а \(h\) — высота параллелепипеда.

Шаг 2.1: Найдем длину диагонали основания (d)

Длина диагонали основания (d) можно найти по теореме Пифагора:

\[ d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \, \text{см} \]

Шаг 2.2: Подставим в формулу площади диагонального сечения

Теперь подставим известные значения в формулу для площади диагонального сечения:

\[ 50 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot h \]

Упрощая, получим:

\[ 50 = \frac{5h}{2} \]

Чтобы найти высоту \(h\), умножим обе стороны уравнения на 2:

\[ 100 = 5h \]

Разделим обе стороны на 5:

\[ h = 20 \, \text{см} \]

Шаг 3: Найдем полную поверхность параллелепипеда

Полная поверхность \(S_p\) прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

\[ S_p = 2(ab + ah + bh) \]

подставляем известные значения:

• \(a = 4 \, \text{см}\)
• \(b = 3 \, \text{см}\)
• \(h = 20 \, \text{см}\)

Подсчитаем:

1. Находим \(ab\):

\[ ab = 4 \cdot 3 = 12 \, \text{см}^2 \]

2. Находим \(ah\):

\[ ah = 4 \cdot 20 = 80 \, \text{см}^2 \]

3. Находим \(bh\):

\[ bh = 3 \cdot 20 = 60 \, \text{см}^2 \]

Теперь подставим всё в формулу для полной поверхности:

\[ S_p = 2(12 + 80 + 60) = 2(152) = 304 \, \text{см}^2 \]

Ответ

Полная поверхность прямоугольного параллелепипеда составляет 304 см².