Для решения задачи о прямоугольном параллелепипеде начнем с определения основных параметров и формул.
Шаг 1: Данные
- Длина основания (a) = 4 см
- Ширина основания (b) = 3 см
- Площадь диагонального сечения (S) = 50 см²
Шаг 2: Определение высоты
В прямоугольном параллелепипеде диагональное сечение представляет собой треугольник, образованный диагоналями и высотой параллелепипеда. Площадь такого сечения можно вычислить по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h
]
где (d) — длина диагонали основания, а (h) — высота параллелепипеда.
Шаг 2.1: Найдем длину диагонали основания (d)
Длина диагонали основания (d) можно найти по теореме Пифагора:
[
d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 , \text{см}
]
Шаг 2.2: Подставим в формулу площади диагонального сечения
Теперь подставим известные значения в формулу для площади диагонального сечения:
[
50 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot h
]
Упрощая, получим:
[
50 = \frac{5h}{2}
]
Чтобы найти высоту (h), умножим обе стороны уравнения на 2:
[
100 = 5h
]
Разделим обе стороны на 5:
[
h = 20 , \text{см}
]
Шаг 3: Найдем полную поверхность параллелепипеда
Полная поверхность (S_p) прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:
[
S_p = 2(ab + ah + bh)
]
подставляем известные значения:
- (a = 4 , \text{см})
- (b = 3 , \text{см})
- (h = 20 , \text{см})
Подсчитаем:
- Находим (ab):
[
ab = 4 \cdot 3 = 12 , \text{см}^2
]
- Находим (ah):
[
ah = 4 \cdot 20 = 80 , \text{см}^2
]
- Находим (bh):
[
bh = 3 \cdot 20 = 60 , \text{см}^2
]
Теперь подставим всё в формулу для полной поверхности:
[
S_p = 2(12 + 80 + 60) = 2(152) = 304 , \text{см}^2
]
Ответ
Полная поверхность прямоугольного параллелепипеда составляет 304 см².
