Амфитеатре  15 15 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду  12 12 мест, а в шестом ряду  24 24 места. Сколько всего мест в амфитеатре? В

Чтобы решить задачу, давайте сначала проанализируем, как устроены ряды в амфитеатре. 1. **Обозначим количество мест в ряду.** Пусть \( a \) — это количество мест в первом ряду, а \( d \) — количество дополнительных мест в каждом следующем ряду. 2. **Запишем количество мест в ряде.** Если в первом ряду \( a \) мест, то: - Во втором ряду: \( a + d \) - В третьем ряду: \( a + 2d \) - В четвертом ряду: \( a + 3d \) - В пятом ряду: \( a + 4d \) - В шестом ряду: \( a + 5d \) 3. **Используем данные из условия.** - Нам известно, что в третьем ряду \( 12 \) мест. Запишем это уравнение: \[ a + 2d = 12 \quad (1) \] - Также известно, что в шестом ряду \( 24 \) места: \[ a + 5d = 24 \quad (2) \] 4. **Решим систему уравнений.** - Из уравнения (1) выражаем \( a \): \[ a = 12 - 2d \quad (3) \] - Подставим \( a \) из (3) в (2): \[ (12 - 2d) + 5d = 24 \] Упростим: \[ 12 + 3d = 24 \] \[ 3d = 24 - 12 \] \[ 3d = 12 \implies d = 4 \] 5. **Найдём \( a \).** Подставим \( d \) обратно в (3): \[ a = 12 - 2 \cdot 4 = 12 - 8 = 4 \] 6. **Теперь мы знаем, что в первом ряду \( 4 \) места, а в каждом следующем ряду добавляется \( 4 \) места. Теперь давайте найдем количество мест в каждом ряду.** - 1-й ряд: \( 4 \) - 2-й ряд: \( 4 + 4 = 8 \) - 3-й ряд: \( 12 \) - 4-й ряд: \( 16 \) - 5-й ряд: \( 20 \) - 6-й ряд: \( 24 \) - 7-й ряд: \( 28 \) - 8-й ряд: \( 32 \) - 9-й ряд: \( 36 \) - 10-й ряд: \( 40 \) - 11-й ряд: \( 44 \) - 12-й ряд: \( 48 \) - 13-й ряд: \( 52 \) - 14-й ряд: \( 56 \) - 15-й ряд: \( 60 \) 7. **Теперь найдем общее количество мест во всех рядах.** Для этого сложим количество мест в каждом ряду: \[ Сумма = 4 + 8 + 12 + 16 + 20 + 24 + 28 + 32 + 36 + 40 + 44 + 48 + 52 + 56 + 60 \] Это арифметическая прогресия, где: - Первый член \( a_1 = 4 \) - Последний член \( a_n = 60 \) - Количество членов \( n = 15 \) - Разность \( d = 4 \) Сумму арифметической прогрессии можно найти по формуле: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) = \frac{15}{2} \cdot (4 + 60) = \frac{15}{2} \cdot 64 = 15 \cdot 32 = 480 \] Таким образом, общее количество мест в амфитеатре составляет **480 мест**.