амфитеатре 15 15 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 12 12 мест, а в шестом ряду 24 24 места. Сколько всего…

Чтобы решить задачу, давайте сначала проанализируем, как устроены ряды в амфитеатре.

1. Обозначим количество мест в ряду. Пусть \( a \) — это количество мест в первом ряду, а \( d \) — количество дополнительных мест в каждом следующем ряду.

2. Запишем количество мест в ряде. Если в первом ряду \( a \) мест, то:

   • Во втором ряду: \( a + d \)
   • В третьем ряду: \( a + 2d \)
   • В четвертом ряду: \( a + 3d \)
   • В пятом ряду: \( a + 4d \)
   • В шестом ряду: \( a + 5d \)

3. Используем данные из условия.

   • Нам известно, что в третьем ряду \( 12 \) мест. Запишем это уравнение: \[ a + 2d = 12 \quad (1) \]
   • Также известно, что в шестом ряду \( 24 \) места: \[ a + 5d = 24 \quad (2) \]

4. Решим систему уравнений.

   • Из уравнения (1) выражаем \( a \): \[ a = 12 - 2d \quad (3) \]

   • Подставим \( a \) из (3) в (2): \[ (12 - 2d) + 5d = 24 \] Упростим: \[ 12 + 3d = 24 \] \[ 3d = 24 - 12 \] \[ 3d = 12 \implies d = 4 \]

5. Найдём \( a \). Подставим \( d \) обратно в (3): \[ a = 12 - 2 \cdot 4 = 12 - 8 = 4 \]

6. Теперь мы знаем, что в первом ряду \( 4 \) места, а в каждом следующем ряду добавляется \( 4 \) места. Теперь давайте найдем количество мест в каждом ряду.

   • 1-й ряд: \( 4 \)
   • 2-й ряд: \( 4 + 4 = 8 \)
   • 3-й ряд: \( 12 \)
   • 4-й ряд: \( 16 \)
   • 5-й ряд: \( 20 \)
   • 6-й ряд: \( 24 \)
   • 7-й ряд: \( 28 \)
   • 8-й ряд: \( 32 \)
   • 9-й ряд: \( 36 \)
   • 10-й ряд: \( 40 \)
   • 11-й ряд: \( 44 \)
   • 12-й ряд: \( 48 \)
   • 13-й ряд: \( 52 \)
   • 14-й ряд: \( 56 \)
   • 15-й ряд: \( 60 \)

7. Теперь найдем общее количество мест во всех рядах. Для этого сложим количество мест в каждом ряду: \[ Сумма = 4 + 8 + 12 + 16 + 20 + 24 + 28 + 32 + 36 + 40 + 44 + 48 + 52 + 56 + 60 \] Это арифметическая прогресия, где:

   • Первый член \( a_1 = 4 \)
   • Последний член \( a_n = 60 \)
   • Количество членов \( n = 15 \)
   • Разность \( d = 4 \)

   Сумму арифметической прогрессии можно найти по формуле: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) = \frac{15}{2} \cdot (4 + 60) = \frac{15}{2} \cdot 64 = 15 \cdot 32 = 480 \]

Таким образом, общее количество мест в амфитеатре составляет 480 мест.