принадлежат ли корни -π/6 + 2πn; -5π/6 + 2πn, отрезку [-7π/2; -2π]
Для того чтобы понять, принадлежат ли заданные корни \( -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \) и \( -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \) отрезку \( [-\frac{7\pi}{2}; -2\pi] \), необходимо рассмотреть оба корня по отдельности и выяснить, при каких значениях \( n \) они попадают в этот отрезок.
Шаг 1: Определение отрезка
Отрезок \( [-\frac{7\pi}{2}; -2\pi] \) можно представить в числовом виде:
- \( -\frac{7\pi}{2} = -3.5\pi \)
- \( -2\pi = -2\pi \)
Шаг 2: Анализ первого корня
Рассмотрим первый корень:
\[ x_1 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \]
Чтобы найти, при каких значениях \( n \) он принадлежит отрезку, нужно решить неравенство:
\[ -\frac{7\pi}{2} \leq -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq -2\pi \]
Разделим это на два неравенства:
- \( -\frac{7\pi}{2} \leq -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \)
- \( -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq -2\pi \)
Шаг 3: Решение первого неравенства
Решим первое неравенство:
\[ -\frac{7\pi}{2} + \frac{\pi}{6} \leq 2\pi n \]
Для упрощения найдем общий знаменатель:
\[ -\frac{21\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = -\frac{20\pi}{6} = -\frac{10\pi}{3} \] Тогда неравенство будет выглядеть так:
\[ -\frac{10\pi}{3} \leq 2\pi n \]
Делим обе стороны на \( 2\pi \) (так как \( 2\pi > 0 \), знак неравенства не меняется):
\[ -\frac{10}{6} \leq n \quad \Rightarrow \quad -\frac{5}{3} \leq n \]
Шаг 4: Решение второго неравенства
Теперь решим второе неравенство:
\[ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq -2\pi \]
Переносим \( -\frac{\pi}{6} \):
\[ 2\pi n \leq -2\pi + \frac{\pi}{6} \]
Складываем \( -2\pi \) и \( \frac{\pi}{6} \):
\[ -2\pi = -\frac{12\pi}{6} \quad \Rightarrow \quad -\frac{12\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6} \]
Итак, неравенство будет:
\[ 2\pi n \leq -\frac{11\pi}{6} \]
Делим на \( 2\pi \):
\[ n \leq -\frac{11}{12} \]
Шаг 5: Объединение результатов
Теперь мы имеем два условия для \( n \):
- \( n \geq -\frac{5}{3} \)
- \( n \leq -\frac{11}{12} \)
Эти два неравенства дают следующий промежуток для \( n \):
\[ -\frac{5}{3} \leq n \leq -\frac{11}{12} \]
Шаг 6: Анализ второго корня
Теперь нужно проделать рассуждения аналогичным образом для второго корня:
\[ x_2 = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \]
Произведём те же операции и неравенства, аналогично как и для первого корня, чтобы выяснить, при каких \( n \) второй корень попадает в отрезок \( [-\frac{7\pi}{2}; -2\pi] \).
Общий вывод
Выводя условия для двух корней, мы сможем увидеть, каким значениям \( n \) соответствуют эти корни и попадают ли они в изучаемый отрезок. Поэтому, важно решить оба случая, начиная с определения условий для каждого корня, а затем объединить результаты, чтобы получить нужный ответ.
С учетом вышеописанных шагов, вы можете проверять, принадлежат ли оба этих корня отрезку или нет, и делать выводы о числах, а также ты может с легкостью адаптироваться с новыми значениями n, если это потребуется.
