Сколько нужно сделать опытов,чтобы с вероятностью 0,95 получить равенство p=m/n с точностью 0,01
Для решения этой задачи необходимо понять, как использовать статистику и вероятность для получения желаемого результата. Выражение \( p = \frac{m}{n} \) связывает эмпирическую вероятность \( p \) (число успехов \( m \) из общего числа экспериментов \( n \)).
Шаг 1: Определение задачи
Мы хотим достичь равенства \( p = \frac{m}{n} \) с точностью 0.01. Это означает, что мы хотим, чтобы вероятность \( p \) находилась в пределах \( [p - 0.01, p + 0.01] \) с вероятностью 0.95.
Шаг 2: Использование нормального распределения
При большой выборке (по теореме Сентралъ, 76) можно использовать нормальное распределение для приближения биномиального. В данном случае, если \( n \) достаточно велико, распределение \( \frac{m}{n} \) будет нормально распределено с матожиданием \( p \) и стандартным отклонением:
\[ \sigma = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \]
Мы хотим, чтобы:
\[ P\left(p - 0.01 < \frac{m}{n} < p + 0.01\right) = 0.95 \]
Шаг 3: Установка границ
Для нормального распределения 95% объектов находятся в пределах примерно 1.96 стандартных отклонений от среднего. Поэтому мы можем записать:
\[ 0.01 = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \]
Шаг 4: Решение уравнения
Теперь мы преобразуем уравнение для нахождения \( n \):
- Умножим обе стороны на \( n \):
\[ 0.01n = 1.96 \cdot \sqrt{p(1-p)} \]
- Поделим обе стороны на 0.01:
\[ n = \frac{1.96 \cdot \sqrt{p(1-p)}}{0.01} \]
- Возведем обе стороны в квадрат:
\[ n = \left(\frac{1.96}{0.01}\right)^2 \cdot p(1-p) \]
- Считаем:
\[ n = 38416 \cdot p(1-p) \]
Шаг 5: Вывод
Для достижения нашего желаемого результата с вероятностью 0.95 и точностью 0.01, нужно провести минимально \( n \) опытов, где \( n \) рассчитывается по формуле:
\[ n = 38416 \cdot p(1-p) \]
Для конкретных значений \( p \), например, если вы хотите использовать \( p = 0.5\) (самый консервативный подход для определения максимального значения \( n \)):
\[ n = 38416 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 9604 \]
Итак, в зависимости от предполагаемого значения \( p \), необходимо провести от 9604 опытов, если \( p = 0.5\) для достижения необходимого уровня доверия и точности.
