Сколько нужно сделать опытов,чтобы с вероятностью 0,95 получить равенство p=m/n с точностью 0,01

Для решения этой задачи необходимо понять, как использовать статистику и вероятность для получения желаемого результата. Выражение \( p = \frac{m}{n} \) связывает эмпирическую вероятность \( p \) (число успехов \( m \) из общего числа экспериментов \( n \)). ### Шаг 1: Определение задачи Мы хотим достичь равенства \( p = \frac{m}{n} \) с точностью 0.01. Это означает, что мы хотим, чтобы вероятность \( p \) находилась в пределах \( [p - 0.01, p + 0.01] \) с вероятностью 0.95. ### Шаг 2: Использование нормального распределения При большой выборке (по теореме Сентралъ, 76) можно использовать нормальное распределение для приближения биномиального. В данном случае, если \( n \) достаточно велико, распределение \( \frac{m}{n} \) будет нормально распределено с матожиданием \( p \) и стандартным отклонением: \[ \sigma = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \] Мы хотим, чтобы: \[ P\left(p - 0.01 < \frac{m}{n} < p + 0.01\right) = 0.95 \] ### Шаг 3: Установка границ Для нормального распределения 95% объектов находятся в пределах примерно 1.96 стандартных отклонений от среднего. Поэтому мы можем записать: \[ 0.01 = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \] ### Шаг 4: Решение уравнения Теперь мы преобразуем уравнение для нахождения \( n \): 1. Умножим обе стороны на \( n \): \[ 0.01n = 1.96 \cdot \sqrt{p(1-p)} \] 2. Поделим обе стороны на 0.01: \[ n = \frac{1.96 \cdot \sqrt{p(1-p)}}{0.01} \] 3. Возведем обе стороны в квадрат: \[ n = \left(\frac{1.96}{0.01}\right)^2 \cdot p(1-p) \] 4. Считаем: \[ n = 38416 \cdot p(1-p) \] ### Шаг 5: Вывод Для достижения нашего желаемого результата с вероятностью 0.95 и точностью 0.01, нужно провести минимально \( n \) опытов, где \( n \) рассчитывается по формуле: \[ n = 38416 \cdot p(1-p) \] Для конкретных значений \( p \), например, если вы хотите использовать \( p = 0.5\) (самый консервативный подход для определения максимального значения \( n \)): \[ n = 38416 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 9604 \] Итак, в зависимости от предполагаемого значения \( p \), необходимо провести от 9604 опытов, если \( p = 0.5\) для достижения необходимого уровня доверия и точности.