В выражении (x+y)13 раскрыли скобки и привели подобные слагаемые. Какой коэффициент стоит перед одночленом x4y5 ? 1 Какой коэффициент стоит перед одночленом x7y6 ?
Чтобы решить вашу задачу, мы будем использовать формулу бинома Ньютона, которая позволяет раскрывать скобки в выражении вида \((a + b)^n\).
Ваша задача – найти коэффициенты перед одночленами \(x^4y^5\) и \(x^7y^6\) в выражении \((x + y)^{13}\).
Шаг 1: Формула бинома Ньютона
По формуле бинома Ньютона, коэффициент перед одночленом \(x^k y^{n-k}\) в разложении \((x + y)^n\) вычисляется по формуле:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
где \(C(n, k)\) — это коэффициент, \(n\) — степень, а \(k\) — степень переменной \(x\).
Шаг 2: Найдем коэффициент перед \(x^4 y^5\)
Здесь у нас \(n = 13\), \(k = 4\) и \(m\) (или степень \(y\)) тогда будет \(n-k = 13 - 4 = 9\).
Коэффициент перед \(x^4 y^9\) можно найти следующим образом:
\[ C(13, 4) = \frac{13!}{4! \cdot (13-4)!} = \frac{13!}{4! \cdot 9!} \]
Теперь посчитаем это значение:
Вычисляем факториалы.
- \(13! = 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9!\)
- \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)
- \(9! = 9!\) (он сократится)
Подставляем и сокращаем:
\[ C(13, 4) = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10}{4!} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10}{24} \]
Теперь посчитаем числитель:
\[ 13 \times 12 = 156 \] \[ 156 \times 11 = 1716 \] \[ 1716 \times 10 = 17160 \]
Теперь делим на \(24\):
\[ \frac{17160}{24} = 715 \]
Таким образом, коэффициент перед одночленом \(x^4y^9\) равен 715.
Шаг 3: Найдем коэффициент перед \(x^7y^6\)
Здесь у нас \(n = 13\), \(k = 7\) и \(m = 6\) (поскольку \(n-k = 6\)).
Коэффициент перед \(x^7 y^6\):
\[ C(13, 7) = \frac{13!}{7! \cdot (13-7)!} = \frac{13!}{7! \cdot 6!} \]
Следуем тем же шагам, чтобы вычислить:
- Вычисляем:
\[ C(13, 7) = C(13, 6) \quad (\text{так как } C(n, k) = C(n, n-k)) \]
- Считаем:
\[ C(13, 6) = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{6!} \]
Где \(6! = 720\).
- Считаем числитель:
\[ 13 \times 12 = 156 \] \[ 156 \times 11 = 1716 \] \[ 1716 \times 10 = 17160 \] \[ 17160 \times 9 = 154440 \] \[ 154440 \times 8 = 1235520 \]
Теперь делим на \(720\):
\[ \frac{1235520}{720} = 1716 \]
Таким образом, коэффициент перед одночленом \(x^7y^6\) равен 1716.
Результат
- Коэффициент перед \(x^4y^9\): 715
- Коэффициент перед \(x^7y^6\): 1716
