Чтобы решить вашу задачу, мы будем использовать формулу бинома Ньютона, которая позволяет раскрывать скобки в выражении вида ((a + b)^n).
Ваша задача – найти коэффициенты перед одночленами (x^4y^5) и (x^7y^6) в выражении ((x + y)^{13}).
Шаг 1: Формула бинома Ньютона
По формуле бинома Ньютона, коэффициент перед одночленом (x^k y^{n-k}) в разложении ((x + y)^n) вычисляется по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где (C(n, k)) — это коэффициент, (n) — степень, а (k) — степень переменной (x).
Шаг 2: Найдем коэффициент перед (x^4 y^5)
Здесь у нас (n = 13), (k = 4) и (m) (или степень (y)) тогда будет (n-k = 13 - 4 = 9).
Коэффициент перед (x^4 y^9) можно найти следующим образом:
[
C(13, 4) = \frac{13!}{4! \cdot (13-4)!} = \frac{13!}{4! \cdot 9!}
]
Теперь посчитаем это значение:
Вычисляем факториалы.
- (13! = 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9!)
- (4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24)
- (9! = 9!) (он сократится)
Подставляем и сокращаем:
[
C(13, 4) = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10}{4!} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10}{24}
]
Теперь посчитаем числитель:
[
13 \times 12 = 156
]
[
156 \times 11 = 1716
]
[
1716 \times 10 = 17160
]
Теперь делим на (24):
[
\frac{17160}{24} = 715
]
Таким образом, коэффициент перед одночленом (x^4y^9) равен 715.
Шаг 3: Найдем коэффициент перед (x^7y^6)
Здесь у нас (n = 13), (k = 7) и (m = 6) (поскольку (n-k = 6)).
Коэффициент перед (x^7 y^6):
[
C(13, 7) = \frac{13!}{7! \cdot (13-7)!} = \frac{13!}{7! \cdot 6!}
]
Следуем тем же шагам, чтобы вычислить:
- Вычисляем:
[
C(13, 7) = C(13, 6) \quad (\text{так как } C(n, k) = C(n, n-k))
]
- Считаем:
[
C(13, 6) = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{6!}
]
Где (6! = 720).
- Считаем числитель:
[
13 \times 12 = 156
]
[
156 \times 11 = 1716
]
[
1716 \times 10 = 17160
]
[
17160 \times 9 = 154440
]
[
154440 \times 8 = 1235520
]
Теперь делим на (720):
[
\frac{1235520}{720} = 1716
]
Таким образом, коэффициент перед одночленом (x^7y^6) равен 1716.
Результат
- Коэффициент перед (x^4y^9): 715
- Коэффициент перед (x^7y^6): 1716
