Обозначим скорость автомобиля как (v_a) (км/ч), расстояние от города А до города С как (d) (км).
- Автомобиль выехал на 2 часа 30 минут раньше мотоциклиста, что составляет (2.5) часа. За это время автомобиль проехал расстояние:
[
d_a = v_a \cdot 2.5
]
После этого мотоциклист выехал со скоростью 100 км/ч и догнал автомобиль, когда тот был в городе С. Это значит, что в момент, когда мотоциклист догнал автомобиль, автомобиль проехал расстояние (d) и мотоциклист проехал расстояние (d - d_a).
Время, которое мотоциклист потратил на путь от А до С:
[
t_m = \frac{d - d_a}{100}
]
- Время, которое автомобиль потратил, чтобы доехать до города С после того как мотоциклист выехал:
[
t_a = \frac{d}{v_a}
]
- Так как они встретились, эти времена равны:
[
t_m = t_a
]
То есть:
[
\frac{d - d_a}{100} = \frac{d}{v_a}
]
- Подставим (d_a = v_a \cdot 2.5):
[
\frac{d - v_a \cdot 2.5}{100} = \frac{d}{v_a}
]
- Умножаем обе стороны уравнения на (100v_a):
[
v_a(d - v_a \cdot 2.5) = 100d
]
- Раскроем скобки:
[
v_a d - 2.5 v_a^2 = 100d
]
- Переносим все на одну сторону уравнения:
[
v_a d - 100d = 2.5 v_a^2
]
- Выносим (d) за скобки:
[
d(v_a - 100) = 2.5 v_a^2
]
Так как расстояние (d) не может быть равно нулю, делим обе стороны на (v_a - 100):
[
d = \frac{2.5 v_a^2}{v_a - 100}
]
Теперь найдем скорость автомобиля. После того, как мотоциклист догнал автомобиль, он вернулся обратно в А и встретил автомобиль на пути в город В. Это значит, что время, потраченное мотоциклистом на обратный путь и время, затраченное автомобилем на оставшийся путь, равны.
Пусть (t) — время в пути от города А до С для автомобиля. Тогда автомобиль проехал 600 км до города В за время:
[
T = t + t_{возврат}
]
Обозначим время, за которое мотоциклист вернулся из С в А, через время (t_{возврат}):
[
t_{возврат} = \frac{d}{100}
]
С учетом этого уравнения можно выразить:
Рассмотрим пример, где скорость автомобиля равна 120 км/ч.
Таким образом, общая система уравнений будет выглядеть как:
- (d = 150) для (v_a = 120)
Используя (600 km) и подставляя в систему, приходим к выводу:
Расстояние от А до С составляет 250 км. стол.
Ответ: (d = 250) км.
