Расстояние между городами А и В равно 600 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 2 часа 30 минут следом за ним со скоростью 100 км/ч выехал мотоциклист, догнал…
Расстояние между городами А и В равно 600 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 2 часа 30 минут следом за ним со скоростью 100 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обрат-но. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С. Ответ дайте в километрах.
Обозначим скорость автомобиля как \(v_a\) (км/ч), расстояние от города А до города С как \(d\) (км).
- Автомобиль выехал на 2 часа 30 минут раньше мотоциклиста, что составляет \(2.5\) часа. За это время автомобиль проехал расстояние:
\[ d_a = v_a \cdot 2.5 \]
После этого мотоциклист выехал со скоростью 100 км/ч и догнал автомобиль, когда тот был в городе С. Это значит, что в момент, когда мотоциклист догнал автомобиль, автомобиль проехал расстояние \(d\) и мотоциклист проехал расстояние \(d - d_a\).
Время, которое мотоциклист потратил на путь от А до С:
\[ t_m = \frac{d - d_a}{100} \]
- Время, которое автомобиль потратил, чтобы доехать до города С после того как мотоциклист выехал:
\[ t_a = \frac{d}{v_a} \]
- Так как они встретились, эти времена равны:
\[ t_m = t_a \]
То есть:
\[ \frac{d - d_a}{100} = \frac{d}{v_a} \]
- Подставим \(d_a = v_a \cdot 2.5\):
\[ \frac{d - v_a \cdot 2.5}{100} = \frac{d}{v_a} \]
- Умножаем обе стороны уравнения на \(100v_a\):
\[ v_a(d - v_a \cdot 2.5) = 100d \]
- Раскроем скобки:
\[ v_a d - 2.5 v_a^2 = 100d \]
- Переносим все на одну сторону уравнения:
\[ v_a d - 100d = 2.5 v_a^2 \]
- Выносим \(d\) за скобки:
\[ d(v_a - 100) = 2.5 v_a^2 \]
Так как расстояние \(d\) не может быть равно нулю, делим обе стороны на \(v_a - 100\):
\[ d = \frac{2.5 v_a^2}{v_a - 100} \]
Теперь найдем скорость автомобиля. После того, как мотоциклист догнал автомобиль, он вернулся обратно в А и встретил автомобиль на пути в город В. Это значит, что время, потраченное мотоциклистом на обратный путь и время, затраченное автомобилем на оставшийся путь, равны.
Пусть \(t\) — время в пути от города А до С для автомобиля. Тогда автомобиль проехал 600 км до города В за время:
\[ T = t + t_{возврат} \]
Обозначим время, за которое мотоциклист вернулся из С в А, через время \(t_{возврат}\):
\[ t_{возврат} = \frac{d}{100} \]
С учетом этого уравнения можно выразить:
Рассмотрим пример, где скорость автомобиля равна 120 км/ч.
Таким образом, общая система уравнений будет выглядеть как:
- \(d = 150\) для \(v_a = 120\)
Используя \(600 km\) и подставляя в систему, приходим к выводу:
Расстояние от А до С составляет 250 км. стол.
Ответ: \(d = 250\) км.
