В равнобедренной трапеции ABCD с меньшим основанием BC = 3 и боковой стороной AB = 10 провели высоту ВН. В треугольнике ABH известно, что sin ABH =3/10. Найдите большее основание.

Для решения задачи мы будем использовать свойства равнобедренной трапеции и тригонометрические функции.

1. Начнем с понимания условий задачи:

   • Трапеция ABCD равнобедренная, это означает, что стороны AB = AD и BC (меньшее основание) = 3.
   • Длину боковой стороны AB (или AD) мы знаем — это 10.
   • Мы провели высоту ВН из точки B к основанию CD. Высота делит основание CD на две части: L и R (где L + R = CD).

2. Используем данные о синусе:

   • Из условия задачи мы знаем, что \( \sin \angle ABH = \frac{3}{10} \).
   • В треугольнике ABH мы можем использовать соотношение: \[ \sin \angle ABH = \frac{BH}{AB} \]
   • Подставляем известные значения: \[ \frac{BH}{10} = \frac{3}{10} \]
   • Отсюда найдем высоту \( BH \): \[ BH = 10 \cdot \frac{3}{10} = 3 \]

3. Определяем величину L и R:

   • У нас есть прямоугольный треугольник ABH, где:
     • гипотенуза AB = 10,
     • противолежащий катет BH = 3,
     • прилежащий катет AH можем найти через теорему Пифагора: \[ AH^2 + BH^2 = AB^2 \] \[ AH^2 + 3^2 = 10^2 \] \[ AH^2 + 9 = 100 \] \[ AH^2 = 91 \Rightarrow AH = \sqrt{91} \]

4. Теперь определяем основание CD:

   • Длина меньшего основания BC = 3, а высота BH = 3, и отрезок AH будет равно \( \sqrt{91} \).
   • Находим большее основание CD: \[ CD = BC + 2 \cdot AH = 3 + 2 \cdot \sqrt{91} \]

5. Подводим итог: Теперь подставляя значение \( AH \): \[ CD = 3 + 2 \cdot \sqrt{91} \approx 3 + 2 \cdot 9.54 \approx 22.08 \]

Таким образом, большее основание CD равнобедренной трапеции равно \( 3 + 2 \sqrt{91} \).