Построй график функции 𝑦 = ∣ 𝑥 2 − 𝑥 − 6 ∣ y=∣x 2 −x−6∣ и определи, при каком значении 𝑚 m прямая 𝑦 = 𝑚 y=m имеет с графиком ровно три общие точки.
Для решения задачи нам нужно построить график функции \( y = |x^2 - x - 6| \) и определить, при каком значении \( m \) прямая \( y = m \) имеет ровно три общие точки с этим графиком.
Шаг 1: Анализ функции внутри модуля
Сначала рассмотрим функцию \( f(x) = x^2 - x - 6 \). Для начала, найдем корни этого уравнения, чтобы выяснить, где функция меняет знак. Для этого используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]
Теперь найдём корни:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{2} = -2 \]
Таким образом, функция \( f(x) = x^2 - x - 6 \) имеет корни в точках \( x = -2 \) и \( x = 3 \).
Шаг 2: Определение знака функции
Теперь определим знак функции \( f(x) \):
- \( f(x) < 0 \) на интервале \( (-2, 3) \) (между корнями, парабола направлена вверх).
- \( f(x) > 0 \) на интервалах \( (-\infty, -2) \) и \( (3, \infty) \).
Таким образом, мы можем выразить \( y \) в зависимости от \( x \):
\[ y = \begin{cases} x^2 - x - 6, & \text{если } x \leq -2 \text{ или } x \geq 3 \\ -(x^2 - x - 6), & \text{если } -2 < x < 3 \end{cases} \]
Шаг 3: Построение графика функции \( y = |x^2 - x - 6| \)
Теперь мы можем построить график:
- На интервале \( (-\infty, -2) \) и \( (3, \infty) \) график выглядит как парабола (открытый вверх).
- На интервале \( (-2, 3) \) график будет иметь вид перевёрнутой параболы (открытый вниз).
Шаг 4: Определение значений \( m \)
Чтобы прямая \( y = m \) имела ровно три общие точки с графиком функции, прямая должна касаться графика в одной точке на интервале \( (-2, 3) \) и пересекать два раза график на интервалах \( (-\infty, -2) \) или \( (3, \infty) \).
Определение точки касания на интервале \( (-2, 3) \)
На интервале \( (-2, 3) \), прямая \( y = m \) касается графика, когда \( m \) равен значению функции в вершине параболы, которая находится в середине отрезка между корнями:
Вершина параболы \( y = - (x^2 - x - 6) \) находится в точке:
\[ x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{1}{2}, \quad y_v = -\left(\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} - 6\right) = -\left(\frac{1}{4} - \frac{2}{4} - 6\right) = -\left(-\frac{1}{4} - 6\right) = \frac{1}{4} + 6 = \frac{25}{4} \]
Заключение
Таким образом, чтобы прямая \( y = m \) имела ровно три общие точки с графиком функции:
\[ m = \frac{25}{4} \]
Это и есть значение \( m \), при котором условие задачи выполняется.
