Проводится серия из 6 независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха p = 0,5. Составьте таблицу распределения случайной величины «число успехов». Изобразите распределе ние вероятностей с помощью диаграммы. Симметрично ли это распределение?

Для того чтобы решить поставленную задачу, мы рассмотрим случайную величину, которая называется биномиальным распределением. В данном случае, у нас есть 6 независимых испытаний Бернулли, и вероятность успеха в каждом испытании равна p = 0,5. Мы обозначим количество успехов как случайную величину X. ### 1. Составление таблицы распределения Биномиальное распределение можно описать с помощью формулы: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] где: - \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае, \( n = 6 \)), - \( k \) — количество успехов (может принимать значения от 0 до n), - \( p \) — вероятность успеха (в нашем случае, \( p = 0.5 \)), - \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\). Теперь мы можем рассчитать вероятности для каждого возможного значения \( k \) от 0 до 6: | k | P(X = k) | |---|-----------------------------------------| | 0 | \( \binom{6}{0} (0.5)^0 (0.5)^6 = 1 \cdot 1 \cdot 0.015625 = 0.015625 \) | | 1 | \( \binom{6}{1} (0.5)^1 (0.5)^5 = 6 \cdot 0.5 \cdot 0.03125 = 0.09375 \) | | 2 | \( \binom{6}{2} (0.5)^2 (0.5)^4 = 15 \cdot 0.25 \cdot 0.0625 = 0.234375 \)| | 3 | \( \binom{6}{3} (0.5)^3 (0.5)^3 = 20 \cdot 0.125 \cdot 0.125 = 0.25 \) | | 4 | \( \binom{6}{4} (0.5)^4 (0.5)^2 = 15 \cdot 0.0625 \cdot 0.25 = 0.234375 \)| | 5 | \( \binom{6}{5} (0.5)^5 (0.5)^1 = 6 \cdot 0.03125 \cdot 0.5 = 0.09375 \) | | 6 | \( \binom{6}{6} (0.5)^6 (0.5)^0 = 1 \cdot 0.015625 \cdot 1 = 0.015625 \) | Теперь подведем итог и составим таблицу распределения: | k | P(X = k) | |---|------------| | 0 | 0.015625 | | 1 | 0.09375 | | 2 | 0.234375 | | 3 | 0.25 | | 4 | 0.234375 | | 5 | 0.09375 | | 6 | 0.015625 | ### 2. Диаграмма распределения вероятностей Теперь визуализируем это распределение. Мы можем построить столбчатую диаграмму, где по оси x будут отложены значения k (число успехов), а по оси y — соответствующие вероятности. ``` Вероятности | | █ | █ █ | █ █ █ | █ █ █ █ | █ █ █ █ █ | █ █ █ █ █ | █ █ █ █ █ | █ █ █ █ █ █ | █ █ █ █ █ █ |___█_____█____█____█______█__________█____ к 0 1 2 3 4 5 6 ``` ### 3. Симметрия распределения Мы заметим, что вероятности для значений k (числа успехов) 0 и 6, 1 и 5, 2 и 4, а также 3 примерно одинаковы: - P(X=0) = P(X=6) - P(X=1) = P(X=5) - P(X=2) = P(X=4) - P(X=3) = P(X=3) Это говорит о том, что распределение симметрично относительно k = 3, поэтому можно сделать вывод, что распределение является симметричным. ### Итог Мы составили таблицу распределения случайной величины, изобразили распределение вероятностей в виде диаграммы и выявили, что оно симметрично.