Проводится серия из 6 независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха p = 0,5. Составьте таблицу распределения случайной величины «число успехов». Изобразите распределе ние…
Проводится серия из 6 независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха p = 0,5. Составьте таблицу распределения случайной величины «число успехов». Изобразите распределе ние вероятностей с помощью диаграммы. Симметрично ли это распределение?
Для того чтобы решить поставленную задачу, мы рассмотрим случайную величину, которая называется биномиальным распределением. В данном случае, у нас есть 6 независимых испытаний Бернулли, и вероятность успеха в каждом испытании равна p = 0,5. Мы обозначим количество успехов как случайную величину X.
1. Составление таблицы распределения
Биномиальное распределение можно описать с помощью формулы:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]
где:
- \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае, \( n = 6 \)),
- \( k \) — количество успехов (может принимать значения от 0 до n),
- \( p \) — вероятность успеха (в нашем случае, \( p = 0.5 \)),
- \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).
Теперь мы можем рассчитать вероятности для каждого возможного значения \( k \) от 0 до 6:
| k | P(X = k) |
|---|---|
| 0 | \( \binom{6}{0} (0.5)^0 (0.5)^6 = 1 \cdot 1 \cdot 0.015625 = 0.015625 \) |
| 1 | \( \binom{6}{1} (0.5)^1 (0.5)^5 = 6 \cdot 0.5 \cdot 0.03125 = 0.09375 \) |
| 2 | \( \binom{6}{2} (0.5)^2 (0.5)^4 = 15 \cdot 0.25 \cdot 0.0625 = 0.234375 \) |
| 3 | \( \binom{6}{3} (0.5)^3 (0.5)^3 = 20 \cdot 0.125 \cdot 0.125 = 0.25 \) |
| 4 | \( \binom{6}{4} (0.5)^4 (0.5)^2 = 15 \cdot 0.0625 \cdot 0.25 = 0.234375 \) |
| 5 | \( \binom{6}{5} (0.5)^5 (0.5)^1 = 6 \cdot 0.03125 \cdot 0.5 = 0.09375 \) |
| 6 | \( \binom{6}{6} (0.5)^6 (0.5)^0 = 1 \cdot 0.015625 \cdot 1 = 0.015625 \) |
Теперь подведем итог и составим таблицу распределения:
| k | P(X = k) |
|---|---|
| 0 | 0.015625 |
| 1 | 0.09375 |
| 2 | 0.234375 |
| 3 | 0.25 |
| 4 | 0.234375 |
| 5 | 0.09375 |
| 6 | 0.015625 |
2. Диаграмма распределения вероятностей
Теперь визуализируем это распределение. Мы можем построить столбчатую диаграмму, где по оси x будут отложены значения k (число успехов), а по оси y — соответствующие вероятности.
Вероятности
|
| █
| █ █
| █ █ █
| █ █ █ █
| █ █ █ █ █
| █ █ █ █ █
| █ █ █ █ █
| █ █ █ █ █ █
| █ █ █ █ █ █
|___█_____█____█____█______█__________█____ к
0 1 2 3 4 5 6
3. Симметрия распределения
Мы заметим, что вероятности для значений k (числа успехов) 0 и 6, 1 и 5, 2 и 4, а также 3 примерно одинаковы:
- P(X=0) = P(X=6)
- P(X=1) = P(X=5)
- P(X=2) = P(X=4)
- P(X=3) = P(X=3)
Это говорит о том, что распределение симметрично относительно k = 3, поэтому можно сделать вывод, что распределение является симметричным.
Итог
Мы составили таблицу распределения случайной величины, изобразили распределение вероятностей в виде диаграммы и выявили, что оно симметрично.
