Даны векторы a{-7;1} и b{-4;-3}. Найдите скалярное произведение (a+b)*(a-b).

Чтобы найти значение выражения \((\mathbf{a} + \mathbf{b})(\mathbf{a} - \mathbf{b})\), нам сначала нужно вычислить векторы \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\) и \(\mathbf{a} - \mathbf{b}\), а затем перемножить их.

Шаг 1: Определите векторы.

Даны векторы: \[ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} -7 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Найдите сумму векторов \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\).

Сложение векторов выполняется поэлементно: \[ \mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -7 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 + (-4) \\ 1 + (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 \\ -2 \end{pmatrix} \]

Шаг 3: Найдите разность векторов \(\mathbf{a} - \mathbf{b}\).

Вычитание векторов также выполняется поэлементно: \[ \mathbf{a} - \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -7 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 - (-4) \\ 1 - (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 + 4 \\ 1 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} \]

Шаг 4: Найдите скалярное произведение \((\mathbf{a} + \mathbf{b})(\mathbf{a} - \mathbf{b})\).

Скалярное произведение двух векторов \(\mathbf{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix}\) и \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}\) вычисляется по формуле: \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 \]

Теперь подставим наши векторы: \[ \mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -11 \\ -2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{a} - \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} \]

Выполним скалярное произведение: \[ (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b}) = \begin{pmatrix} -11 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} = (-11)(-3) + (-2)(4) \] \[ = 33 - 8 = 25 \]

Ответ: Скалярное произведение \((\mathbf{a} + \mathbf{b})(\mathbf{a} - \mathbf{b}) = 25\).