Чтобы найти площадь боковой поверхности конуса, нам сначала нужно выяснить высоту конуса. Мы можем использовать формулу объема конуса, которая выглядит следующим образом:
[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
]
где:
- ( V ) — объем конуса,
- ( r ) — радиус основания конуса,
- ( h ) — высота конуса.
Ваша задача: найти площадь боковой поверхности конуса, но для этого сначала нужно определить высоту ( h ).
Дано:
- Объем ( V = 96\pi ) см³
- Радиус основания ( r = 6 ) см
Шаг 1: Найдем высоту ( h )
Подставим известные значения в формулу объема:
[
96\pi = \frac{1}{3} \pi (6^2) h
]
Упрощаем:
- Вычисляем ( 6^2 ):
[
6^2 = 36
]
- Подставляем это значение в уравнение:
[
96\pi = \frac{1}{3} \pi (36) h
]
- Упростим уравнение, убрав ( \pi ) с обеих сторон:
[
96 = \frac{1}{3} (36) h
]
- Умножим обе стороны на 3:
[
288 = 36h
]
- Теперь делим обе стороны на 36:
[
h = \frac{288}{36} = 8 \text{ см}
]
Теперь мы знаем высоту конуса ( h = 8 ) см.
Шаг 2: Найдем наклонную высоту ( l )
Чтобы найти площадь боковой поверхности, нам также нужна наклонная высота ( l ). Наклонная высота можно найти по теореме Пифагора:
[
l = \sqrt{r^2 + h^2}
]
Подставляем известные значения:
[
l = \sqrt{6^2 + 8^2}
]
- Вычисляем ( 6^2 ) и ( 8^2 ):
[
6^2 = 36, \quad 8^2 = 64
]
- Суммируем:
[
l = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}
]
Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности ( S )
Площадь боковой поверхности конуса рассчитывается по следующей формуле:
[
S = \pi r l
]
Теперь подставим известные значения:
[
S = \pi \cdot 6 \cdot 10
]
Вычислим:
[
S = 60\pi \text{ см}^2
]
Ответ:
Площадь боковой поверхности конуса равна ( 60\pi ) см².
