Объëм конуса с радиусом основания 6 см равен 96π см³.Найдите площадь боковой поверхности конуса
Чтобы найти площадь боковой поверхности конуса, нам сначала нужно выяснить высоту конуса. Мы можем использовать формулу объема конуса, которая выглядит следующим образом:
\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]
где:
- \( V \) — объем конуса,
- \( r \) — радиус основания конуса,
- \( h \) — высота конуса.
Ваша задача: найти площадь боковой поверхности конуса, но для этого сначала нужно определить высоту \( h \).
Дано:
- Объем \( V = 96\pi \) см³
- Радиус основания \( r = 6 \) см
Шаг 1: Найдем высоту \( h \)
Подставим известные значения в формулу объема:
\[ 96\pi = \frac{1}{3} \pi (6^2) h \]
Упрощаем:
- Вычисляем \( 6^2 \):
\[ 6^2 = 36 \]
- Подставляем это значение в уравнение:
\[ 96\pi = \frac{1}{3} \pi (36) h \]
- Упростим уравнение, убрав \( \pi \) с обеих сторон:
\[ 96 = \frac{1}{3} (36) h \]
- Умножим обе стороны на 3:
\[ 288 = 36h \]
- Теперь делим обе стороны на 36:
\[ h = \frac{288}{36} = 8 \text{ см} \]
Теперь мы знаем высоту конуса \( h = 8 \) см.
Шаг 2: Найдем наклонную высоту \( l \)
Чтобы найти площадь боковой поверхности, нам также нужна наклонная высота \( l \). Наклонная высота можно найти по теореме Пифагора:
\[ l = \sqrt{r^2 + h^2} \]
Подставляем известные значения:
\[ l = \sqrt{6^2 + 8^2} \]
- Вычисляем \( 6^2 \) и \( 8^2 \):
\[ 6^2 = 36, \quad 8^2 = 64 \]
- Суммируем:
\[ l = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см} \]
Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности \( S \)
Площадь боковой поверхности конуса рассчитывается по следующей формуле:
\[ S = \pi r l \]
Теперь подставим известные значения:
\[ S = \pi \cdot 6 \cdot 10 \]
Вычислим:
\[ S = 60\pi \text{ см}^2 \]
Ответ:
Площадь боковой поверхности конуса равна \( 60\pi \) см².
