Виталий пригласил Глеба в гости, сказав, что живёт в девятом подъезде в квартире № 421, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Глеб обнаружил, что дом десятиэтажный. На каком этаже…
Виталий пригласил Глеба в гости, сказав, что живёт в девятом подъезде в квартире № 421, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Глеб обнаружил, что дом десятиэтажный. На каком этаже живёт Виталий? (На всех этажах число квартир одинаково, нумерация квартир в доме начинается с единицы.)
Для решения задачи определим, на каком этаже живет Виталий.
Данные:
- Девятиэтажный дом.
- Квартира Виталия — № 421.
- Каждому этажу соответствует одинаковое количество квартир.
1. Определим общее количество этажей и квартир: Пусть количество квартир на каждом этаже равно \( n \). Так как дом десятиэтажный, то общее количество квартир в доме будет равно \( 10n \), так как есть 10 этажей.
2. Определим, как распределены квартиры по этажам: Квартиры на первом этаже будут от 1 до \( n \). Квартиры на втором этаже от \( n + 1 \) до \( 2n \). Квартиры на третьем этаже от \( 2n + 1 \) до \( 3n \). И так далее.
- На \( k \)-ом этаже квартиры будут от \( (k-1)n + 1 \) до \( kn \).
3. Найдем этаж, на котором находится квартира № 421: Для этого необходимо решить неравенство:
\[ (k-1)n + 1 \leq 421 \leq kn \]
Разделим решение на две части:
- Для левой части:
\[ (k-1)n + 1 \leq 421 \implies (k-1)n \leq 420 \implies k \leq \frac{420}{n} + 1 \]
- Для правой части:
\[ 421 \leq kn \implies k \geq \frac{421}{n} \]
Теперь мы знаем, что \( k \) должно удовлетворять условиям:
\[ \frac{421}{n} \leq k \leq \frac{420}{n} + 1 \]
4. Подберем значение \( n \): Значение \( n \) должно быть таким, чтобы при округлении \( k \) оказалось целым числом, т.е. \( \frac{421}{n} \) и \( \frac{420}{n} + 1 \) должны давать в конечном итоге одно и то же целое число.
Начнем пробовать возможные значения для \( n \):
Если \( n = 42 \):
- \( k = \frac{421}{42} \approx 10.0 \) (целое число)
- \( k \leq \frac{420}{42} + 1 = 11 \)
- Значит, \( k = 10 \).
Если \( n = 41 \):
- \( k = \frac{421}{41} \approx 10.29 \)
- \( k \) должен быть 11, но это не выполняется.
Если \( n = 40 \):
- \( k = \frac{421}{40} \approx 10.525 \)
- \( k \) должен быть 11, но это не выполняется.
Если \( n = 39 \):
- \( k = \frac{421}{39} \approx 10.80 \)
- \( k \) должен быть 11, но это не выполняется.
И так далее. Известно, что целочисленное деление в числах показывает, что возможных вариантов 42 и 41.
Следовательно, кол-во квартир на этаже равно 42, и Виталий живет на 10 этаже.
Таким образом, Виталий живет на 10 этаже.
