В торговом центре установлены два автомата, продающие кофе. С вероятность 0,11 к вечеру в первом автомате заканчивается кофе. Во втором автомате кофе заканчивается к вечеру с вероятностью 0,14. Найдите математическое ожидание числа автоматов, в которых к вечеру закончится кофе.

Для решения этой задачи мы будем использовать понятие математического ожидания и вероятности. 1. **Определение событий:** - Пусть \( A_1 \) — событие, что в первом автомате к вечеру закончится кофе. Вероятность этого события: \( P(A_1) = 0,11 \). - Пусть \( A_2 \) — событие, что во втором автомате к вечеру закончится кофе. Вероятность этого события: \( P(A_2) = 0,14 \). 2. **Определение случайной величины:** - Обозначим случайную величину \( X \) как число автоматов, в которых к вечеру закончится кофе. Она может принимать значения 0, 1 или 2: - \( X = 0 \) — кофе не закончилось ни в одном автомате, - \( X = 1 \) — кофе закончилось в одном автомате, - \( X = 2 \) — кофе закончилось в обоих автоматах. 3. **Вычисление вероятностей значений \( X \):** - \( P(X = 0) \) — вероятность того, что в обоих автоматах кофе не закончится: \[ P(X = 0) = P(\text{не } A_1) \cdot P(\text{не } A_2) = (1 - 0,11) \cdot (1 - 0,14) = 0,89 \cdot 0,86 = 0,7654 \] - \( P(X = 1) \) — вероятность того, что кофе закончилось в одном автомате (можно рассмотреть два случая): - Кофе закончилось в первом автомате и не закончилось во втором: \[ P(X = 1, \text{ в } A_1) = P(A_1) \cdot P(\text{не } A_2) = 0,11 \cdot 0,86 = 0,0946 \] - Кофе закончилось во втором автомате и не закончилось в первом: \[ P(X = 1, \text{ в } A_2) = P(\text{не } A_1) \cdot P(A_2) = 0,89 \cdot 0,14 = 0,1246 \] Теперь складываем две вероятности: \[ P(X = 1) = P(X = 1, \text{ в } A_1) + P(X = 1, \text{ в } A_2) = 0,0946 + 0,1246 = 0,2192 \] - \( P(X = 2) \) — вероятность того, что кофе закончилось в обоих автоматах: \[ P(X = 2) = P(A_1) \cdot P(A_2) = 0,11 \cdot 0,14 = 0,0154 \] 4. **Вычисление математического ожидания:** Математическое ожидание \( E(X) \) вычисляется по формуле: \[ E(X) = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2) \] Подставим значения: \[ E(X) = 0 \cdot 0,7654 + 1 \cdot 0,2192 + 2 \cdot 0,0154 \] \[ E(X) = 0 + 0,2192 + 0,0308 = 0,25 \] Таким образом, математическое ожидание числа автоматов, в которых к вечеру закончится кофе, равно **0,25**.