Давайте внимательно рассмотрим данное выражение и решим его шаг за шагом. Мы ищем значение выражения:
[
\sqrt{39 - 12\sqrt{3}} + \sqrt{3}
]
Шаг 1: Упрощение корня
Начнем с выражения под корнем:
[
39 - 12\sqrt{3}
]
Попробуем представить его в виде квадрата разности. Предположим, что:
[
\sqrt{39 - 12\sqrt{3}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}
]
Тогда:
[
\sqrt{39 - 12\sqrt{3}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \implies 39 - 12\sqrt{3} = a + b - 2\sqrt{ab}
]
Отсюда, приравняв, получаем:
- (a + b = 39)
- (-2\sqrt{ab} = -12\sqrt{3} \implies \sqrt{ab} = 6\sqrt{3} \implies ab = 108)
Шаг 2: Решение системы
Теперь у нас есть система уравнений:
- (a + b = 39)
- (ab = 108)
Подставим (b) через (a) в уравнение (ab = 108):
[
b = 39 - a \implies a(39 - a) = 108
]
Это приводит к квадратному уравнению:
[
39a - a^2 = 108 \implies a^2 - 39a + 108 = 0
]
Шаг 3: Решение квадратного уравнения
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0):
[
a = 1, \quad b = -39, \quad c = 108
]
Дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-39)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 108 = 1521 - 432 = 1089
]
Теперь находим корни:
[
a, b = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{39 \pm \sqrt{1089}}{2} = \frac{39 \pm 33}{2}
]
[
a_1 = \frac{72}{2} = 36, \quad a_2 = \frac{6}{2} = 3
]
Следовательно, (a = 36) и (b = 3) или наоборот.
Шаг 4: Подставляем обратно
Теперь вернемся к нашему корню:
[
\sqrt{39 - 12\sqrt{3}} = \sqrt{36} - \sqrt{3} = 6 - \sqrt{3}
]
Шаг 5: Подсчет окончательного результата
Теперь добавим (\sqrt{3}):
[
\sqrt{39 - 12\sqrt{3}} + \sqrt{3} = (6 - \sqrt{3}) + \sqrt{3} = 6 - \sqrt{3} + \sqrt{3} = 6
]
Ответ
Значение данного выражения:
[
\boxed{6}
]
