решить
Чтобы найти минимальное значение выражения \(x^2 + y^2\), нужно учесть уравнение:
\[ x^2 - y^2 + 6x + 4y + 5 = 0. \]
Для достижения минимального значения \(x^2 + y^2\), мы воспользуемся методом дополнения до полного квадрата.
Перепишем уравнение, выделяя полные квадраты:
- Выразим \(x^2 + 6x\):
\[ x^2 + 6x = (x+3)^2 - 9. \]
- Выразим \(-y^2 + 4y\):
\[ -y^2 + 4y = -(y^2 - 4y) = -(y-2)^2 + 4. \]
Теперь подставим это обратно в уравнение:
\[ (x+3)^2 - 9 - (y-2)^2 + 4 + 5 = 0. \]
Упростим:
\[ (x+3)^2 - (y-2)^2 = 0. \]
Это уравнение означает, что:
\[ (x+3)^2 = (y-2)^2. \]
Отсюда \(x+3 = y-2\) или \(x+3 = -(y-2)\).
Рассмотрим оба случая:
1. Случай \(x+3 = y-2\):
\[ x = y - 5. \]
В этом случае минимальное значение выражения \(x^2 + y^2\) нужно подставить в начальное уравнение и решить.
Подставим \(x = y-5\) в уравнение:
\[ (y-5)^2 + y^2. \]
2. Случай \(x+3 = -(y-2)\):
\[ x = -y - 1. \]
Подставим \(x = -y-1\) в \(x^2 + y^2\):
\[ (-y-1)^2 + y^2 = y^2 + 2y + 1 + y^2 = 2y^2 + 2y + 1. \]
Теперь решим для первого случая:
Минимизация:
Найдем критические точки для функции:
\[ g(y) = (y-5)^2 + y^2 = y^2 - 10y + 25 + y^2 = 2y^2 - 10y + 25. \]
Произведем дифференцирование:
\[ g'(y) = 4y - 10 = 0, \]
\[ y = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}. \]
Подставим обратно, чтобы найти минимальное значение \(x^2 + y^2\):
Посчитаем:
\[ g\left(\frac{5}{2}\right)=2\left(\frac{5}{2}\right)^2-10\left(\frac{5}{2}\right)+25 = 2\cdot\frac{25}{4} - 25 + 25 = 25 - 12.5 + 25 = 37.5 - 25 = 12.5. \]
Таким образом, минимальное значение \(x^2 + y^2 =\boxed{12.5}\).
Убедимся, что данное решение удовлетворяет исходным условиям и найдите минимальные значения также во втором случае.
