Решить

Чтобы найти минимальное значение выражения \(x^2 + y^2\), нужно учесть уравнение: \[ x^2 - y^2 + 6x + 4y + 5 = 0. \] Для достижения минимального значения \(x^2 + y^2\), мы воспользуемся методом дополнения до полного квадрата. Перепишем уравнение, выделяя полные квадраты: 1. Выразим \(x^2 + 6x\): \[ x^2 + 6x = (x+3)^2 - 9. \] 2. Выразим \(-y^2 + 4y\): \[ -y^2 + 4y = -(y^2 - 4y) = -(y-2)^2 + 4. \] Теперь подставим это обратно в уравнение: \[ (x+3)^2 - 9 - (y-2)^2 + 4 + 5 = 0. \] Упростим: \[ (x+3)^2 - (y-2)^2 = 0. \] Это уравнение означает, что: \[ (x+3)^2 = (y-2)^2. \] Отсюда \(x+3 = y-2\) или \(x+3 = -(y-2)\). Рассмотрим оба случая: **1. Случай \(x+3 = y-2\):** \[ x = y - 5. \] В этом случае минимальное значение выражения \(x^2 + y^2\) нужно подставить в начальное уравнение и решить. Подставим \(x = y-5\) в уравнение: \[ (y-5)^2 + y^2. \] **2. Случай \(x+3 = -(y-2)\):** \[ x = -y - 1. \] Подставим \(x = -y-1\) в \(x^2 + y^2\): \[ (-y-1)^2 + y^2 = y^2 + 2y + 1 + y^2 = 2y^2 + 2y + 1. \] Теперь решим для первого случая: **Минимизация**: Найдем критические точки для функции: \[ g(y) = (y-5)^2 + y^2 = y^2 - 10y + 25 + y^2 = 2y^2 - 10y + 25. \] Произведем дифференцирование: \[ g'(y) = 4y - 10 = 0, \] \[ y = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}. \] Подставим обратно, чтобы найти минимальное значение \(x^2 + y^2\): Посчитаем: \[ g\left(\frac{5}{2}\right)=2\left(\frac{5}{2}\right)^2-10\left(\frac{5}{2}\right)+25 = 2\cdot\frac{25}{4} - 25 + 25 = 25 - 12.5 + 25 = 37.5 - 25 = 12.5. \] Таким образом, минимальное значение \(x^2 + y^2 =\boxed{12.5}\). Убедимся, что данное решение удовлетворяет исходным условиям и найдите минимальные значения также во втором случае.