найдите сумму целых решений системы неравенств 9-2х<0, х²-8х<-7

Для решения системы неравенств, давайте разбивим задачу на два неравенства и решим каждое из них.

1. Решим первое неравенство:

\[ 9 - 2x < 0 \]

Шаг 1: Переносим \(2x\) на правую сторону:

\[ 9 < 2x \]

Шаг 2: Делим обе стороны на 2 (так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется):

\[ \frac{9}{2} < x \]

То есть:

\[ x > 4.5 \]

2. Решим второе неравенство:

\[ x^2 - 8x < -7 \] Шаг 1: Переносим \(-7\) на левую сторону:

\[ x^2 - 8x + 7 < 0 \]

Шаг 2: Рассмотрим соответствующее квадратное уравнение:

\[ x^2 - 8x + 7 = 0 \]

Шаг 3: Используем дискриминант для нахождения корней:

\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36 \]

Шаг 4: Найдем корни уравнения:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{8 \pm 6}{2} \]

Таким образом:

\[ x_1 = \frac{8 + 6}{2} = 7 \]

\[ x_2 = \frac{8 - 6}{2} = 1 \]

Шаг 5: Теперь раскроем неравенство \(x^2 - 8x + 7 < 0\). Квадратный трёхчлен будет отрицателен между корнями \(x = 1\) и \(x = 7\). Это будет выглядеть так:

\[ 1 < x < 7 \]

3. Объединение решений:

Теперь у нас есть два интервала:

• \(x > 4.5\) из первого неравенства.
• \(1 < x < 7\) из второго неравенства.

Объединим их:

\[ 4.5 < x < 7 \]

4. Найдем целые решения:

В этом интервале целыми числами являются \(5\) и \(6\).

5. Найдем сумму целых решений:

\[ 5 + 6 = 11 \]

Таким образом, сумма целых решений системы неравенств равна 11.