Для решения системы неравенств, давайте разбивим задачу на два неравенства и решим каждое из них.
1. Решим первое неравенство:
[
9 - 2x < 0
]
Шаг 1: Переносим (2x) на правую сторону:
[
9 < 2x
]
Шаг 2: Делим обе стороны на 2 (так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется):
[
\frac{9}{2} < x
]
То есть:
[
x > 4.5
]
2. Решим второе неравенство:
[
x^2 - 8x < -7
]
Шаг 1: Переносим (-7) на левую сторону:
[
x^2 - 8x + 7 < 0
]
Шаг 2: Рассмотрим соответствующее квадратное уравнение:
[
x^2 - 8x + 7 = 0
]
Шаг 3: Используем дискриминант для нахождения корней:
[
D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36
]
Шаг 4: Найдем корни уравнения:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{8 \pm 6}{2}
]
Таким образом:
[
x_1 = \frac{8 + 6}{2} = 7
]
[
x_2 = \frac{8 - 6}{2} = 1
]
Шаг 5: Теперь раскроем неравенство (x^2 - 8x + 7 < 0). Квадратный трёхчлен будет отрицателен между корнями (x = 1) и (x = 7). Это будет выглядеть так:
[
1 < x < 7
]
3. Объединение решений:
Теперь у нас есть два интервала:
- (x > 4.5) из первого неравенства.
- (1 < x < 7) из второго неравенства.
Объединим их:
[
4.5 < x < 7
]
4. Найдем целые решения:
В этом интервале целыми числами являются (5) и (6).
5. Найдем сумму целых решений:
[
5 + 6 = 11
]
Таким образом, сумма целых решений системы неравенств равна 11.
