Для решения задачи давайте начнем с того, что обозначим несколько переменных и запишем уравнения, основываясь на данных условиях.
Обозначения:
- Пусть угол A — это меньший острый угол, тогда угол B будет в два раза больше: ( \angle B = 2\angle A ).
- Обозначим катет, противолежащий углу A, как ( a ) (меньший катет), а катет, противолежащий углу B, как ( b ) (больший катет).
- Обозначим гипотенузу как ( c ).
Условия задачи:
Мы знаем, что разность гипотенузы и меньшего катета ( ( c - a ) ) равна 15 см:
[
c - a = 15 \quad \text{(1)}
]
В прямоугольном треугольнике мы можем использовать теорему Пифагора:
[
a^2 + b^2 = c^2 \quad \text{(2)}
]
Так как один угол в два раза больше другого, мы можем использовать соотношения между углами и сторонами. По свойству треугольников, если угол A меньше, чем угол B, то сторона a меньше, чем сторона b.
Углы составляют ( \angle A + \angle B + 90° = 180° ):
[
\angle A + 2\angle A + 90° = 180° \implies 3\angle A = 90° \implies \angle A = 30°, \quad \angle B = 60°
]
Соотношения сторон:
Для прямоугольного треугольника с углом ( 30° ) (меньший катет противолежит) и углом ( 60° ):
- Используем соотношения для сторон 30°-60°-90° треугольника:
- Меньший катет ( a = \frac{c}{2} )
- Больший катет ( b = \frac{\sqrt{3}}{2}c )
Теперь подставим значение меньшего катета ( a ) в уравнение (1):
[
c - \frac{c}{2} = 15 \implies \frac{c}{2} = 15 \implies c = 30 \quad \text{(гипотенуза)}
]
Теперь находим меньший катет ( a ):
[
a = \frac{c}{2} = \frac{30}{2} = 15 \quad \text{(меньший катет)}
]
Ответ:
Таким образом, мы получили:
- Гипотенуза ( c = 30 ) см.
- Меньший катет ( a = 15 ) см.
Рисунок:
Вот схематическое изображение прямоугольного треугольника:
B
/|
/ |
c / | b
/ |
/ |
A------C
a
Где:
- ( \angle A = 30° ) (в противолежащем катете a),
- ( \angle B = 60° ) (в противолежащем катете b),
- ( c = 30 ) см — гипотенуза,
- ( a = 15 ) см — меньший катет.
Таким образом, все условия задачи выполнены!
