решить

Для решения задачи найдем точки пересечения касательной, проведенной из точки \(A(-1; -3)\), и окружности, заданной уравнением \((x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 4\).

Шаг 1: Уравнение окружности

Уравнение окружности \((x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 4\) имеет центр в точке \(C(1; -3)\) и радиус \(r = 2\) (так как \(r^2 = 4\)).

Шаг 2: Уравнение прямой

Предположим, что прямая, проходящая через точку \(A(-1; -3)\), имеет уравнение радиуса вектором центра окружности и точкой касания. Общее уравнение прямой в данном случае будет:

\[ (y + 3) = k(x + 1) \]

где \(k\) — наклон прямой. Уравнение этой прямой также имеет условие касания, так как хотим, чтобы оно касалось окружности.

Шаг 3: Подстановка и нахождение касательной

Подставим уравнение прямой в уравнение окружности:

\[ (x - 1)^2 + (k(x + 1) + 3)^2 = 4 \]

Распределим и упростим:

\[ (x - 1)^2 + (kx + k + 3)^2 = 4 \]

Касательная означает, что дискриминант квадратного уравнения равен нулю. Решим его для х.

Шаг 4: Нахождение точек касания

Решая это уравнение, мы находим \(x\) координаты точки касания. Подстановкой обратно в уравнение прямой получают \(y\) координаты.

Однако мы можем заметить, что окружность и касательная имеют общую точку так как:

\[ \text{(Если} \, b^2 - 4ac = 0) \]

найдите значение \(k\), где дискриминант

Шаг 5: Итоговое решение

Символическое решение или использование параметра касательной \(k\) приводит к:

Расчет значений для \(k\), где \(y = kx - 2k - 3\), и расстояние от центра до данной прямой:

Если проводить через центр окружности для выяснения направления: \((0;0)\) на формуле \((kx - y + b) = \pm \frac{обрезок \ от \ центра}{r}\)

Подставив данные \(x = 1\), и упростив сложные аргументы, продолжаем решение.

Так, координаты точки касания исходя из анализа задачи могут вычисляться и скажем, что точки пересечения в \((1,0)\) и наоборот.

Заключение:

Появление пересечения, где параметр в общем является ограничением архивации точки и расчет рассматривает касание:

Таким образом, получаем координаты точки касания в первой четверти.