найти координаты точки касания
Чтобы найти координаты точки касания, нам нужно воспользоваться уравнением касательной и уравнением окружности.
Условия задачи:
- Центр окружности: \( O(1, 0) \)
- Радиус окружности: \(\sqrt{1^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}\).
- Точка \( A(-1, -3) \) — это точка, из которой проведена касательная.
Шаги решения:
Уравнение окружности: \[ (x - 1)^2 + y^2 = 10 \]
Найдем уравнение прямой (касательной), проходящей через точку \( A(-1, -3) \):
Пусть \((x_1, y_1)\) — точка касания. Тогда вектор нормали к касательной (от центра окружности к точке касания) будет равен \((x_1 - 1, y_1 - 0)\).
Угол между касательной и вектором \( \vec{OA} \) равен 90°. Это значит, что скалярное произведение векторов \(\vec{OA} = (-1 - 1, -3 - 0) = (-2, -3)\) и \((x_1 - 1, y_1)\) равно нулю: \[ (-2)(x_1 - 1) + (-3)(y_1) = 0 \] \[ -2x_1 + 2 - 3y_1 = 0 \] \[ 2x_1 + 3y_1 = 2 \]
Решение системы уравнений:
Теперь у нас есть две уравнения:
- Уравнение окружности: \[ (x - 1)^2 + y^2 = 10 \]
- Уравнение касательной: \[ 2x + 3y = 2 \]
Подставим \( x = \frac{2 - 3y}{2} \) в уравнение окружности: \[ \left(\frac{2 - 3y}{2} - 1\right)^2 + y^2 = 10 \] \[ \left(\frac{2 - 3y - 2}{2}\right)^2 + y^2 = 10 \] \[ \left(\frac{-3y}{2}\right)^2 + y^2 = 10 \] \[ \frac{9y^2}{4} + y^2 = 10 \] \[ \frac{13y^2}{4} = 10 \] \[ 13y^2 = 40 \] \[ y^2 = \frac{40}{13} \] \[ y = \pm \sqrt{\frac{40}{13}} \]
Для \( y = \sqrt{\frac{40}{13}} \): \[ x = \frac{2 - 3\sqrt{\frac{40}{13}}}{2} \]
Для \( y = -\sqrt{\frac{40}{13}} \): \[ x = \frac{2 + 3\sqrt{\frac{40}{13}}}{2} \]
Определим точку, которая находится в первой четверти, путем проверки знаков.
Таким образом, координаты точки касания, находящейся в первой четверти — это \(\left( \frac{2 - 3\sqrt{\frac{40}{13}}}{2}, \sqrt{\frac{40}{13}} \right)\).
