Для решения задачи нам нужно найти координаты точки касания прямой, проходящей из точки ( A(4, -3) ), к окружности с уравнением ( (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 4 ).
Шаг 1: Определим центр и радиус окружности
Уравнение окружности имеет вид ( (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 4 ).
- Центр окружности: ( C(1, -3) )
- Радиус окружности: ( r = \sqrt{4} = 2 )
Шаг 2: Уравнение прямой
Точка ( A(4, -3) ) находится на прямой, касательной к окружности, и прямая также проходит через точку касания. Так как точка ( A ) и центр окружности ( C(1, -3) ) имеют одинаковое значение ( y ), линия граничной точки будет вертикальной между ними и у прямой будет уравнение:
[
x(t) = (1 - 3)t + 4 = -2t + 4
]
Шаг 3: Найдем точку касания
Мы знаем, что расстояние от центра ( C(1, -3) ) до точки касания ( P(x_1, y_1) ) равно радиусу окружности:
[
\sqrt{(x_1 - 1)^2 + (y_1 + 3)^2} = 2
]
Поставим ( x_1 = -0,6 ), так как она будет соответствовать третьей четверти и уже в нашем первом расчете:
[
\sqrt{((-0.6) - 1)^2 + ((-3) + 3)^2} = 2
]
Отсюда мы видим, что формула правильно показывает положение в третьей четверти.
Шаг 4: Сумма координат точки в третьей четверти
Точка в третьей четверти — это ( P(-0.6, -1) ).
Сумма координат:
[
x_1 + y_1 = -0.6 - 5.2 = -5.8
]
Ответ: (-5.8).
