Маша подбросила игральную кость три раза. Известно, что в сумме выпало 7 очков. Какова вероятность события «хотя бы один раз выпало четыре очка»?

Давайте решим задачу о вероятности события «хотя бы один раз выпало четыре очка» при условии, что в сумме выпало 7 очков.

Шаг 1: Определение пространства событий

Маша подбросила игральную кость три раза, и нас интересует сумма значений этих бросков. Каждый бросок может дать значение от 1 до 6. Если сумма всех бросков равна 7, нужно рассмотреть все возможные комбинации, при которых это возможно, и которые могут включать хотя бы одно значение 4.

Шаг 2: Находим все комбинации, дающие сумму 7

Для того чтобы найти все комбинации бросков игральной кости, дающие в сумме 7 очков, перечислим возможные варианты. Обозначим каждый бросок как \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), тогда необходимо, чтобы выполнялось условие: \[ a_1 + a_2 + a_3 = 7 \] где \(1 \leq a_i \leq 6\).

Переберем все варианты:

• \(1, 1, 5\) (и все перестановки)
• \(1, 2, 4\) (и все перестановки)
• \(1, 3, 3\) (и все перестановки)
• \(2, 2, 3\) (и все перестановки)

Теперь выполним простую подсчет:

1. \(1, 1, 5\) → 3 перестановки: (1, 1, 5), (1, 5, 1), (5, 1, 1)
2. \(1, 2, 4\) → 6 перестановок: (1, 2, 4), (1, 4, 2), (2, 1, 4), (2, 4, 1), (4, 1, 2), (4, 2, 1)
3. \(1, 3, 3\) → 3 перестановки: (1, 3, 3), (3, 1, 3), (3, 3, 1)
4. \(2, 2, 3\) → 3 перестановки: (2, 2, 3), (2, 3, 2), (3, 2, 2)

Суммируя, получаем:

• \(1, 1, 5\): 3
• \(1, 2, 4\): 6
• \(1, 3, 3\): 3
• \(2, 2, 3\): 3

Общее количество комбинаций, дающих сумму 7, равно \(3 + 6 + 3 + 3 = 15\).

Шаг 3: Находим подходящие комбинации

Теперь давайте найдем, сколько из этих комбинаций содержит хотя бы одно 4:

• Из перечисленных вариантов:
  • \(1, 2, 4\) (содержит 4) → 6 перестановок
  • Нет других вариантов, содержащих 4.

Таким образом, количество удачных комбинаций равно 6.

Шаг 4: Находим вероятность

Вероятность события «хотя бы один раз выпало четыре очка» рассчитывается следующим образом: \[ P(\text{попадание 4}) = \frac{\text{число удачных комбинаций}}{\text{общее число комбинаций}} = \frac{6}{15} \] Упростим дробь: \[ P(\text{попадание 4}) = \frac{2}{5} \]

Ответ

Таким образом, вероятность того, что хотя бы один раз выпало четыре очка, составляет \( \frac{2}{5} \) или 0.4.