На вокзале игрок предлагает прохожим игру. Он зажимает в кулаке носовой платок так, что четыре уголка торчат наружу между пальцами. Прохожий берёт платок за два уголка и…
На вокзале игрок предлагает прохожим игру. Он зажимает в кулаке носовой платок так, что четыре уголка торчат наружу между пальцами. Прохожий берёт платок за два уголка и вытягивает его. Если прохожий вытягивает платок за соседние уголки, то проигрывает 50 р. Если прохожий вытягивает два противоположных уголка, то выигрывает 50 р. Составьте распределение и найдите математическое ожидание случайной величины Х «выигрыш прохожего».
Давайте проанализируем задачу о выигрыше прохожего в игре с платком и составим распределение случайной величины \(X\).
1. Определим возможные исходы:
Платок имеет 4 уголка, обозначим их как A, B, C и D. Прохожий может вытащить платок за два уголка следующим образом:
Соседние уголки (потеря):
- A и B
- B и C
- C и D
- D и A
В этих случаях прохожий проигрывает 50 рублей.
Противоположные уголки (выигрыш):
- A и C
- B и D
В этих случаях прохожий выигрывает 50 рублей.
2. Подсчитаем количество исходов:
- Количество способов вытащить платок за соседние уголки: 4 варианта (A-B, B-C, C-D, D-A).
- Количество способов вытащить платок за противоположные уголки: 2 варианта (A-C, B-D).
Итого, у нас есть 6 возможных исходов:
- 4 исхода с проигрышем (соседние уголки).
- 2 исхода с выигрышем (противоположные уголки).
3. Найдем вероятности исходов:
Поскольку все исходы равновероятны, то:
- Вероятность проигрыша (вытащить за соседние уголки): \[ P(\text{проигрыш}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
- Вероятность выигрыша (вытащить за противоположные уголки): \[ P(\text{выигрыш}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
4. Сформируем распределение случайной величины \(X\):
Случайная величина \(X\) принимает следующие значения:
- \(X = -50\) (проигрыш) с вероятностью \(\frac{2}{3}\),
- \(X = 50\) (выигрыш) с вероятностью \(\frac{1}{3}\).
5. Рассчитаем математическое ожидание \(E(X)\):
Математическое ожидание \(E(X)\) рассчитывается по формуле: \[ E(X) = \sum (x_i \cdot P(x_i)) \] где \(x_i\) — значения случайной величины, а \(P(x_i)\) — соответствующие вероятности.
Подставим наши значения: \[ E(X) = (-50) \cdot \frac{2}{3} + (50) \cdot \frac{1}{3} \] \[ E(X) = -\frac{100}{3} + \frac{50}{3} = -\frac{100 - 50}{3} = -\frac{50}{3} \]
6. Итог:
Матhematическое ожидание выигрыша прохожего составит: \[ E(X) = -\frac{50}{3} \approx -16.67 \]
Это означает, что в среднем прохожий будет терять приблизительно 16.67 рублей, играя в эту игру.
