На вокзале игрок предлагает прохожим игру. Он зажимает в кулаке носовой платок так, что четыре уголка торчат наружу между пальцами. Прохожий берёт платок за два уголка и вытягивает его. Если прохожий вытягивает платок за соседние уголки, то проигрывает 50 р. Если прохожий вытягивает два противоположных уголка, то выигрывает 50 р. Составьте распределение и найдите математическое ожидание случайной величины Х «выигрыш прохожего».

Давайте проанализируем задачу о выигрыше прохожего в игре с платком и составим распределение случайной величины \(X\). ### 1. Определим возможные исходы: Платок имеет 4 уголка, обозначим их как A, B, C и D. Прохожий может вытащить платок за два уголка следующим образом: 1. **Соседние уголки** (потеря): - A и B - B и C - C и D - D и A В этих случаях прохожий проигрывает 50 рублей. 2. **Противоположные уголки** (выигрыш): - A и C - B и D В этих случаях прохожий выигрывает 50 рублей. ### 2. Подсчитаем количество исходов: - Количество способов вытащить платок за соседние уголки: 4 варианта (A-B, B-C, C-D, D-A). - Количество способов вытащить платок за противоположные уголки: 2 варианта (A-C, B-D). Итого, у нас есть 6 возможных исходов: - 4 исхода с проигрышем (соседние уголки). - 2 исхода с выигрышем (противоположные уголки). ### 3. Найдем вероятности исходов: Поскольку все исходы равновероятны, то: - Вероятность проигрыша (вытащить за соседние уголки): \[ P(\text{проигрыш}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] - Вероятность выигрыша (вытащить за противоположные уголки): \[ P(\text{выигрыш}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] ### 4. Сформируем распределение случайной величины \(X\): Случайная величина \(X\) принимает следующие значения: - \(X = -50\) (проигрыш) с вероятностью \(\frac{2}{3}\), - \(X = 50\) (выигрыш) с вероятностью \(\frac{1}{3}\). ### 5. Рассчитаем математическое ожидание \(E(X)\): Математическое ожидание \(E(X)\) рассчитывается по формуле: \[ E(X) = \sum (x_i \cdot P(x_i)) \] где \(x_i\) — значения случайной величины, а \(P(x_i)\) — соответствующие вероятности. Подставим наши значения: \[ E(X) = (-50) \cdot \frac{2}{3} + (50) \cdot \frac{1}{3} \] \[ E(X) = -\frac{100}{3} + \frac{50}{3} = -\frac{100 - 50}{3} = -\frac{50}{3} \] ### 6. Итог: Матhematическое ожидание выигрыша прохожего составит: \[ E(X) = -\frac{50}{3} \approx -16.67 \] Это означает, что в среднем прохожий будет терять приблизительно 16.67 рублей, играя в эту игру.