Найдите количество двузначных натуральных чисел X, для которых ложно высказывание: ((X ≥ 50) ИЛИ НЕ ((X кратно 2) ИЛИ (X кратно 3))).
Давайте разберем данную задачу пошагово.
Шаг 1: Понять условие задачи
Мы ищем количество двузначных натуральных чисел \( X \), для которых ложно высказывание:
\[ ((X \geq 50) \lor \neg ((X \text{ кратно } 2) \lor (X \text{ кратно } 3))) \]
Чтобы выяснить, что означает "ложно", вспомним, что логическое выражение ложно, если и только если его отрицание истинно. Следовательно, мы сначала разберем, что значит само выражение, и найдем его отрицание.
Шаг 2: Разберем выражение
- \( (X \geq 50) \) – это условие, которое истинно, если \( X \) больше или равно 50.
- \( (X \text{ кратно } 2) \) – это условие истинно, если число \( X \) делится на 2 без остатка.
- \( (X \text{ кратно } 3) \) – это условие истинно, если число \( X \) делится на 3 без остатка.
Теперь объединим эти условия:
- \( (X \text{ кратно } 2) \lor (X \text{ кратно } 3) \) – это условие истинно, если \( X \) кратно 2 или кратно 3.
А значит, \( \neg ((X \text{ кратно } 2) \lor (X \text{ кратно } 3)) \) – это условие, истинное, если ни одно из условий не выполняется, то есть \( X \) не кратно ни 2, ни 3.
Теперь мы можем переписать оригинальное выражение:
\[ ((X \geq 50) \lor \neg ((X \text{ кратно } 2) \lor (X \text{ кратно } 3))) = (X \geq 50) \lor (X \text{ не кратно } 2 \text{ и } X \text{ не кратно } 3) \]
Шаг 3: Найдем отрицание
Отрицание нашего выражения:
\[ \neg ((X \geq 50) \lor (X \text{ не кратно } 2 \text{ и } X \text{ не кратно } 3)) \]
Согласно правилам логики, можно записать это как:
\[ \neg (X \geq 50) \land \neg (X \text{ не кратно } 2 \text{ и } X \text{ не кратно } 3) \]
- \(\neg (X \geq 50)\) – это \(X < 50\).
- \(\neg (X \text{ не кратно } 2 \text{ и } X \text{ не кратно } 3)\) – это \(X \text{ кратно } 2 \text{ или } X \text{ кратно } 3\).
Таким образом, наше выражение, которое должно быть истинно, будет выглядеть следующим образом:
\[ (X < 50) \land (X \text{ кратно } 2 \text{ или } X \text{ кратно } 3) \]
Шаг 4: Найдем подходящие двузначные числа
Двузначные натуральные числа от 10 до 99. Мы ищем числа, которые меньше 50 и при этом кратны 2 или 3.
Двузначные числа меньше 50: Это числа от 10 до 49.
Кратные 2:
10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48.
Всего кратных 2 от 10 до 49: \(20\) чисел.
Кратные 3:
12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45.
Всего кратных 3 от 10 до 49: \(12\) чисел.
Кратные и 2, и 3 (то есть кратные 6):
12, 18, 24, 30, 36, 42.
Всего кратных 6 от 10 до 49: \(6\) чисел.
Шаг 5: Подсчитаем количество чисел
Теперь используем принцип включения-исключения:
\[ \text{Количество чисел}(2 \text{ или } 3) = \text{Количество чисел}(2) + \text{Количество чисел}(3) - \text{Количество чисел}(6) \]
Подставляем значения:
\[ 20 + 12 - 6 = 26 \]
Шаг 6: Ответ
Итак, количество двузначных натуральных чисел \( X \), для которых ложно исходное высказывание, равно 26.
