sin(2x-π/4)=-√2/2
Для решения уравнения \( \sin(2x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) мы следуем следующим шагам:
Шаг 1: Найти общее решение для синуса
Сначала определим, при каких углах функция синуса равна \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Известно, что синус принимает это значение в следующихquadrants:
- \( \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \), где \( k \) — целое число.
- \( \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \), где \( k \) — целое число.
Таким образом, общее решение для \( 2x - \frac{\pi}{4} \) будет:
\[ 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \quad (1) \] \[ 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \quad (2) \]
Шаг 2: Решение первого уравнения
Решим первое уравнение:
\[ 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \]
Сначала прибавим \( \frac{\pi}{4} \) к обеим частям:
\[ 2x = \frac{7\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \]
Сложим правые части:
\[ 2x = \frac{8\pi}{4} + 2k\pi \] \[ 2x = 2\pi + 2k\pi \]
Теперь делим на 2:
\[ x = \pi + k\pi \]
Шаг 3: Решение второго уравнения
Решим второе уравнение:
\[ 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \]
Добавим \( \frac{\pi}{4} \):
\[ 2x = \frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \]
Сложим правые части:
\[ 2x = \frac{6\pi}{4} + 2k\pi \] \[ 2x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \]
Теперь делим на 2:
\[ x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \]
Шаг 4: Общие решения
Таким образом, у нас есть два обобщенных решения:
- \( x = \pi + k\pi \)
- \( x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \)
где \( k \) — любое целое число.
Заключение
Решение уравнения \( \sin(2x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) можно выразить как два семейства решений:
- \( x = \pi + k\pi \)
- \( x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \)
где \( k \in \mathbb{Z} \). Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как решать уравнения, связанные с тригонометрическими функциями! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь их задавать.
