Sin(2x-π/4)=-√2/2

Для решения уравнения \( \sin(2x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) мы следуем следующим шагам: ### Шаг 1: Найти общее решение для синуса Сначала определим, при каких углах функция синуса равна \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Известно, что синус принимает это значение в следующихquadrants: 1. \( \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \), где \( k \) — целое число. 2. \( \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \), где \( k \) — целое число. Таким образом, общее решение для \( 2x - \frac{\pi}{4} \) будет: \[ 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \quad (1) \] \[ 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \quad (2) \] ### Шаг 2: Решение первого уравнения Решим первое уравнение: \[ 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \] Сначала прибавим \( \frac{\pi}{4} \) к обеим частям: \[ 2x = \frac{7\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \] Сложим правые части: \[ 2x = \frac{8\pi}{4} + 2k\pi \] \[ 2x = 2\pi + 2k\pi \] Теперь делим на 2: \[ x = \pi + k\pi \] ### Шаг 3: Решение второго уравнения Решим второе уравнение: \[ 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \] Добавим \( \frac{\pi}{4} \): \[ 2x = \frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \] Сложим правые части: \[ 2x = \frac{6\pi}{4} + 2k\pi \] \[ 2x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \] Теперь делим на 2: \[ x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \] ### Шаг 4: Общие решения Таким образом, у нас есть два обобщенных решения: 1. \( x = \pi + k\pi \) 2. \( x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \) где \( k \) — любое целое число. ### Заключение Решение уравнения \( \sin(2x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) можно выразить как два семейства решений: 1. \( x = \pi + k\pi \) 2. \( x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \) где \( k \in \mathbb{Z} \). Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как решать уравнения, связанные с тригонометрическими функциями! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь их задавать.