Реши все

Чтобы решить задачи, следуем пошагово:

1. Вычислите наиболее рациональным способом:

Задание:

\[ \frac{18^3 - 3^4}{152 + 186 \cdot 34} \]

Решение:

1. Числитель: \(18^3 - 3^4\)

   • \(18 = 2 \cdot 3^2\), так что \(18^3 = (2 \cdot 3^2)^3 = 2^3 \cdot 3^6 = 8 \cdot 729 = 5832\)
   • \(3^4 = 81\)
   • Разность: \(5832 - 81 = 5751\)

2. Знаменатель: \(152 + 186 \cdot 34\)

   • \(186 \cdot 34 = 6324\)
   • Сумма: \(152 + 6324 = 6476\)

3. Дробь:

   \[ \frac{5751}{6476} \]

Окончательный результат можно сократить, но для задания решаем просто вычислением.

2. Разложите многочлен на множители:

Задание:

\[ 1) \quad 16a^3 + 54b^3 \]

Решение:

1. Применяем формулу суммы кубов: \[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]

2. Выносим общий множитель: \[ 16a^3 + 54b^3 = 2(8a^3 + 27b^3) \]

3. Применяем формулу: \[ 8a^3 = (2a)^3, \quad 27b^3 = (3b)^3 \]

4. Получаем: \[ 2 \cdot ((2a + 3b)((2a)^2 - 2a \cdot 3b + (3b)^2)) = 2(2a + 3b)(4a^2 - 6ab + 9b^2) \]

3. Упростите выражение:

Задание:

\[ (x + 1)(x - 1) - x(x + 3) - 3(x + 1) \]

Решение:

1. Разворачиваем скобки: \[ (x+1)(x-1) = x^2 - 1 \] \[ x(x+3) = x^2 + 3x \] \[ -3(x+1) = -3x - 3 \]

2. Суммируем: \[ x^2 - 1 - x^2 - 3x - 3x - 3 = -6x - 4 \]

4. Покажите, что значение выражения \((x + 1)^2 + (x - 1)^2 + (x + 3)^2\) при \( x = 1 \) равно 10.

Решение:

1. Подставим \(x = 1\) в каждое: \[ (x + 1)^2 = (1 + 1)^2 = 4 \] \[ (x - 1)^2 = (1 - 1)^2 = 0 \] \[ (x + 3)^2 = (1 + 3)^2 = 16 \]

2. Суммируем: \[ 4 + 0 + 16 = 20 \]

В условии на 10 указана ошибка: при подстановке выходит 20 вместо 10.

5. Сумма разности квадратов:

Задание:

• Найти числа, разности квадратов которых положительны и равны 18.

Обозначим числа как \(n\) и \(n+1\).

1. Разность квадратов: \((n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1\)

2. Уравнение: \[ 2n + 1 = 18 \] \[ 2n = 17 \] \[ n = 8.5 \]

Однако, \(n\) целое, неправильное условие вроде. Перепроверить параметры допустимо, возможно, есть ошибка в постановке задачи.

На этом всё. Надеюсь, помогло!