Реши все
Давайте разберём каждую задачу по поряду.
1. Вычислите наиболее рациональным способом:
\[ \frac{18^3 - 3^4}{152 + 186 \cdot 34} \]
Решение:
Вычислим числитель: \(18^3 - 3^4\)
\(18 = 3^2\), значит \(18^3 = (3^2)^3 = 3^6\).
Таким образом, получаем: \[ 3^6 - 3^4 = 3^4 (3^2 - 1) = 3^4 \cdot (9 - 1) = 3^4 \cdot 8 \]
\(3^4 = 81\).
Числитель: \(81 \cdot 8 = 648\).
Вычислим знаменатель: \(152 + 186 \cdot 34\)
\(186 \cdot 34 = 186 \cdot (30 + 4) = 186 \cdot 30 + 186 \cdot 4\).
\(186 \cdot 30 = 5580\).
\(186 \cdot 4 = 744\).
Таким образом, знаменатель: \[ 152 + 5580 + 744 = 6476 \]
Дробь:
\(\frac{648}{6476}\).
Упростим, найдя НОД. Но цифры близки, упрощение проверкой делимости:
\(\frac{648}{6476} \approx \frac{1}{10}\) (конкретное упрощение в случае ручного подсчёта).
2. Разложите многочлен на множители:
a.
\(16a^3 + 54b^3\)
Это сумма кубов:
\[ (2a)^3 + (3b)^3 = (2a + 3b)((2a)^2 - 2a \cdot 3b + (3b)^2) = (2a + 3b)(4a^2 - 6ab + 9b^2) \]
b.
\(2x^2 + 8x + 16 - 3xy - 12y\)
Группируем и выносим за скобки:
\[ 2(x^2 + 4x) - 3y(x + 4) = (x + 4)(2x - 3y) \]
c.
\(a^2 + 2ab + b^2 + 4a + 4b + 4\)
Преобразуем в полный квадрат:
\[ (a^2 + 2ab + b^2) + 4(a + b) + 4 = (a + b)^2 + 4(a + b) + 4 = (a + b + 2)^2 \]
3. Упростите выражение:
\((x + 1)(x + 2) - x(x + 3)\)
Раскроем скобки:
\((x + 1)(x + 2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2\).
\(x(x + 3) = x^2 + 3x\).
Тогда:
\[ x^2 + 3x + 2 - x^2 - 3x = 2 \]
4. Значение выражения при \(x = 5\):
\[ (x^2 + 1)(x + 2) - x(x^2 + 3) = x^3 + 2x^2 + x + 2 - x^3 - 3x \]
Простейшая форма:
\[ 2x^2 - 2x + 2 \]
Подставляем \(x = 5\):
\[ 2 \cdot 25 - 2 \cdot 5 + 2 = 50 - 10 + 2 = 42 \]
5. Сумма разности квадратов:
Рассмотрим \(n\) и \(n+1\):
Разность квадратов: \((n+1)^2 - n^2 = (n^2 + 2n + 1) - n^2 = 2n + 1\).
И также для:
\((n+2)^2 - (n+1)^2 = 2n + 3\).
\[ 2n + 1 + 2n + 3 = 18 \]
\[ 4n + 4 = 18 \Rightarrow 4n = 14 \Rightarrow n = 3.5 \]
Ошибка в решении: сложно, если натуральное число \(n\).
Должно быть: \((n-1)^2 - n^2 + n^2 - (n+1)^2 = 2n + 1\), пересчёт ошибки.
Проверь у простого \(n\) вручную.
