Задача 2
Дано:
Прямоугольный участок размером 32 м на 50 м, плитки размером 4 м на 5 м.
Решение:
Для проверки возможности покрытия прямоугольного участка плитками, нужно узнать, можно ли целиком покрыть его плитками, не остатками.
Находим площадь прямоугольного участка:
[
S_{участка} = длина \times ширина = 32 , \text{м} \times 50 , \text{м} = 1600 , \text{м}^2.
]
Находим площадь одной плитки:
[
S_{плитки} = 4 , \text{м} \times 5 , \text{м} = 20 , \text{м}^2.
]
Вычисляем количество плиток, необходимых для покрытия участка:
[
N = \frac{S_{участка}}{S_{плитки}} = \frac{1600 , \text{м}^2}{20 , \text{м}^2} = 80 , \text{плиток}.
]
Проверяем, помещаются ли плитки ровными рядами:
- По длине (50 м): ( \frac{50}{5} = 10 ) плиток.
- По ширине (32 м): ( \frac{32}{4} = 8 ) плиток.
Общее количество плиток:
[
10 \times 8 = 80 , \text{плиток}.
]
Ответ: Да, участок можно полностью покрыть плитками. Потребуется 80 плиток.
Задача 3
Дано:
Треугольник ABC, M — точка на стороне AC. ( AM = 5 , \text{см}, MC = 10 , \text{см}, AB = 13 , \text{см}, BC = 14 , \text{см}.)
Решение:
Для нахождения площадей треугольников ABM и MBC используем формулу Герона.
Находим длину стороны AC:
[
AC = AM + MC = 5 , \text{см} + 10 , \text{см} = 15 , \text{см}.
]
Находим площадь треугольника ABC по формуле Герона:
Сначала определяем полупериметр ( p ):
[
p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21 , \text{см}.
]
Площадь треугольника ABC:
[
S_{ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},
]
где ( a = AC, , b = AB, , c = BC ):
[
S_{ABC} = \sqrt{21(21-15)(21-13)(21-14)} = \sqrt{21 \times 6 \times 8 \times 7}.
]
Вычисляем:
[
S_{ABC} = \sqrt{21 \times 336} = \sqrt{7056} = 84 , \text{см}^2.
]
Находим площади треугольников ABM и MBC:
Площадь треугольника ABM будет ( \frac{AM}{AC} ) от всей площади:
[
S_{ABM} = \frac{AM}{AC} \times S_{ABC} = \frac{5}{15} \times 84 = 28 , \text{см}^2.
]
Площадь треугольника MBC:
[
S_{MBC} = S_{ABC} - S_{ABM} = 84 , \text{см}^2 - 28 , \text{см}^2 = 56 , \text{см}^2.
]
Ответ: С площадью треугольника ABM = 28 см² и треугольника MBC = 56 см².
Задача 4
Дано:
Параллелограмм ABCD, точка M на стороне AD, ( AM = 7 , \text{см}, MD = 8 , \text{см}, BM = 15 , \text{см}, BD = 17 , \text{см}. )
Решение:
Сначала, найдем основание AD параллелограмма:
[
AD = AM + MD = 7 , \text{см} + 8 , \text{см} = 15 , \text{см}.
]
Теперь найдем высоту BM параллелограмма (высота проведенная из точки B):
[
S_{параллелограмма} = основание \cdot высота = 15 \cdot h.
]
Для нахождения высоты можно использовать теорему Пифагора для треугольника BMD:
[
BD^2 = BM^2 + MD^2.
]
Подставляем значения:
[
17^2 = 15^2 + 8^2.
]
Посчитаем:
[
289 = 225 + 64.
]
Теперь нашли правильную высоту, высота BM равна 15 см.
Найдем площадь:
[
S = AD \cdot h = 15 \cdot 15 = 225 , \text{см}^2.
]
Ответ: Площадь параллелограмма равна 225 см².
Задача 5
Дано:
Прямоугольная трапеция ABCD, большая боковая сторона ( AB = 4\sqrt{3} , \text{см} ), угол ( D = 45^\circ ), высота ( CH ) делит ( AD ) пополам.
Решение:
Определяем высоту CH:
Если ( D = 45^\circ ), то высота ( CH ) равна длине ( AH ):
Поскольку ( AD ) пополам делится, то ( AH = HD ).
Обозначим сторону AD = h (высота) и AH = a, HD = b:
Тогда:
[
a = b = \frac{h}{2}.
]
Используем равнобедренный треугольник AHD, где угол ( D = 45^\circ ):
[
\frac{AB}{AH} = \sqrt{2} \Rightarrow h = a\sqrt{2}.
]
Площадь трапеции ABCD определяется формулой:
[
S = \frac{(AB + CD) \cdot CH}{2}.
]
Поскольку AD делится пополам:
[
CD = 2 \cdot CH + AB = 2(h) + 4 \sqrt{3} , \text{см}.
]
Теперь подставляем значения и вычисляем:
[
S = \frac{(4\sqrt{3} + CD) \cdot h}{2} = 2\sqrt{3}(h + 2h) = 4\sqrt{3}h.
]
Выражаем метод получения:
[
S = 4 \sqrt{3} \cdot (4 \cdot h) = 12(3) \hspace{10pt} (h = 4 \sqrt{3}).
]
Ответ: Площадь трапеции равна ( 48 \sqrt{3} , \text{см}^2 ).
