2. Прямоугольный участок размером 32 * 50 покрывается плитками 4 * 5 Можно ли покрыть этот участок ровными рядами плитками 5 х 72 8:10? Обоснуйте свой ответ. Если да, то сколько…

Задача 2

Дано:
Прямоугольный участок размером 32 м на 50 м, плитки размером 4 м на 5 м.

Решение:
Для проверки возможности покрытия прямоугольного участка плитками, нужно узнать, можно ли целиком покрыть его плитками, не остатками.

1. Находим площадь прямоугольного участка: \[ S_{участка} = длина \times ширина = 32 \, \text{м} \times 50 \, \text{м} = 1600 \, \text{м}^2. \]

2. Находим площадь одной плитки: \[ S_{плитки} = 4 \, \text{м} \times 5 \, \text{м} = 20 \, \text{м}^2. \]

3. Вычисляем количество плиток, необходимых для покрытия участка: \[ N = \frac{S_{участка}}{S_{плитки}} = \frac{1600 \, \text{м}^2}{20 \, \text{м}^2} = 80 \, \text{плиток}. \]

4. Проверяем, помещаются ли плитки ровными рядами:

   • По длине (50 м): \( \frac{50}{5} = 10 \) плиток.
   • По ширине (32 м): \( \frac{32}{4} = 8 \) плиток.

5. Общее количество плиток: \[ 10 \times 8 = 80 \, \text{плиток}. \]

Ответ: Да, участок можно полностью покрыть плитками. Потребуется 80 плиток.

Задача 3

Дано:
Треугольник ABC, M — точка на стороне AC. \( AM = 5 \, \text{см}, MC = 10 \, \text{см}, AB = 13 \, \text{см}, BC = 14 \, \text{см}.\)

Решение:
Для нахождения площадей треугольников ABM и MBC используем формулу Герона.

1. Находим длину стороны AC: \[ AC = AM + MC = 5 \, \text{см} + 10 \, \text{см} = 15 \, \text{см}. \]

2. Находим площадь треугольника ABC по формуле Герона:

   Сначала определяем полупериметр \( p \): \[ p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21 \, \text{см}. \]

   Площадь треугольника ABC: \[ S_{ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \] где \( a = AC, \, b = AB, \, c = BC \): \[ S_{ABC} = \sqrt{21(21-15)(21-13)(21-14)} = \sqrt{21 \times 6 \times 8 \times 7}. \]

   Вычисляем: \[ S_{ABC} = \sqrt{21 \times 336} = \sqrt{7056} = 84 \, \text{см}^2. \]

3. Находим площади треугольников ABM и MBC: Площадь треугольника ABM будет \( \frac{AM}{AC} \) от всей площади: \[ S_{ABM} = \frac{AM}{AC} \times S_{ABC} = \frac{5}{15} \times 84 = 28 \, \text{см}^2. \]

   Площадь треугольника MBC: \[ S_{MBC} = S_{ABC} - S_{ABM} = 84 \, \text{см}^2 - 28 \, \text{см}^2 = 56 \, \text{см}^2. \]

Ответ: С площадью треугольника ABM = 28 см² и треугольника MBC = 56 см².

Задача 4

Дано:
Параллелограмм ABCD, точка M на стороне AD, \( AM = 7 \, \text{см}, MD = 8 \, \text{см}, BM = 15 \, \text{см}, BD = 17 \, \text{см}. \)

Решение:
Сначала, найдем основание AD параллелограмма: \[ AD = AM + MD = 7 \, \text{см} + 8 \, \text{см} = 15 \, \text{см}. \]

Теперь найдем высоту BM параллелограмма (высота проведенная из точки B): \[ S_{параллелограмма} = основание \cdot высота = 15 \cdot h. \]

Для нахождения высоты можно использовать теорему Пифагора для треугольника BMD: \[ BD^2 = BM^2 + MD^2. \] Подставляем значения: \[ 17^2 = 15^2 + 8^2. \] Посчитаем: \[ 289 = 225 + 64. \]

Теперь нашли правильную высоту, высота BM равна 15 см.

Найдем площадь: \[ S = AD \cdot h = 15 \cdot 15 = 225 \, \text{см}^2. \]

Ответ: Площадь параллелограмма равна 225 см².

Задача 5

Дано:
Прямоугольная трапеция ABCD, большая боковая сторона \( AB = 4\sqrt{3} \, \text{см} \), угол \( D = 45^\circ \), высота \( CH \) делит \( AD \) пополам.

Решение:

1. Определяем высоту CH:
   Если \( D = 45^\circ \), то высота \( CH \) равна длине \( AH \): Поскольку \( AD \) пополам делится, то \( AH = HD \).

2. Обозначим сторону AD = h (высота) и AH = a, HD = b: Тогда: \[ a = b = \frac{h}{2}. \]

3. Используем равнобедренный треугольник AHD, где угол \( D = 45^\circ \): \[ \frac{AB}{AH} = \sqrt{2} \Rightarrow h = a\sqrt{2}. \] Площадь трапеции ABCD определяется формулой: \[ S = \frac{(AB + CD) \cdot CH}{2}. \]

4. Поскольку AD делится пополам: \[ CD = 2 \cdot CH + AB = 2(h) + 4 \sqrt{3} \, \text{см}. \]

Теперь подставляем значения и вычисляем: \[ S = \frac{(4\sqrt{3} + CD) \cdot h}{2} = 2\sqrt{3}(h + 2h) = 4\sqrt{3}h. \]

Выражаем метод получения: \[ S = 4 \sqrt{3} \cdot (4 \cdot h) = 12(3) \hspace{10pt} (h = 4 \sqrt{3}). \]

Ответ: Площадь трапеции равна \( 48 \sqrt{3} \, \text{см}^2 \).